Cercasi suc. cauchy in $L^2(0,1)$ per lebesgue no rieman

[bradipo90]

Ciao!
mi piacerebbe trovare come da titolo (abbastanza incomprensibile..) un esempio di successione di cauchy convergente alla funzione $0$
in $L^2(0,1)$ se costruita con l'integrale di Lebesgue, mentre non converga se lo spazio è costruito con l'integrale di Rieman, ho pensato che forse qualcuno ne ha un esempio.

[gugo82]

Sia [tex]$D(x)$[/tex] la funzione di Dirichlet (ossia la funzione caratteristica di [tex]$\mathbb{Q}\cap [0,1]$[/tex]) e sia [tex]$(x_n)$[/tex] un'enumerazione di [tex]$\mathbb{Q}\cap [0,1]$[/tex].
Per [tex]$x\in [0,1]$[/tex] poniamo:

[tex]$u_n(x):=\begin{cases} 0 &\text{, se } x\in \{x_1,\ldots ,x_n\} \\ D(x) &\text{, altrimenti}\end{cases}$[/tex].

Evidentemente ogni [tex]$u_n(x)$[/tex] è integrabile secondo Lebesgue (ed è in ogni [tex]$L^p$[/tex], perchè limitata), ma non è integrabile secondo Riemann.
D'altra parte si ha:

[tex]$u_n\to 0\ \text{puntualmente in } [0,1]$[/tex],

poiché 1) se [tex]$x\in [0,1]\setminus \mathbb{Q}$[/tex] allora [tex]$u_n(x)=0$[/tex] per ogni [tex]$n$[/tex], mentre 2) se [tex]$x\in \mathbb{Q}\cap [0,1]$[/tex] allora esiste un [tex]$\nu$[/tex] tale che [tex]$x=x_\nu$[/tex] e perciò [tex]$u_n(x)=u_n(x_\nu)=0$[/tex] per ogni [tex]$n\geq \nu$[/tex].
Inoltre risulta:

[tex]$u_n\to 0\ \text{in } L^2$[/tex]

giacché per ogni [tex]$n$[/tex] si ha [tex]\int_0^1 |u_n-0|^2\ \text{d} \mathcal{L}=\int_0^1 u_n\ \text{d} \mathcal{L}=0[/tex].

[bradipo90]

Esempio fantastico giulio, ti ringrazio mi hai fatto capire il nocciolo. Hai qualche altro esempio che mi possa fare comodo della teoria degli $L^p$ o simili tenere a mente?

[gugo82]

Ehmm... In verità è Gugo.

Ad ogni modo, di esempi e controesempi ce ne sono tanti.
Ad esempio, ci sono successioni che tendono a zero in [tex]$L^p$[/tex], ma non hanno limite puntuale.
Oppure successioni che convergono a zero in [tex]$L^\infty$[/tex] ma non convergono in [tex]$L^p$[/tex].
Ovvero successioni che convergono puntualmente a zero ma non convergono in [tex]$L^p$[/tex].

O, se ti interessa il comportamento delle funzioni di [tex]$L^p$[/tex], ci sono funzioni continue (anche molto regolari) in [tex]$L^p(\mathbb{R})$[/tex] che non tendono a zero all'infinito, anzi...

Insomma, dipende da cosa cerchi.

[bradipo90]

ahah scusa stavo parlando al telefono con il mio amico giulio:)...
Per il resto, non so se per la stanchezza, non riesco a vederle adesso, quando hai tempo posso chiederti di mostrarmele queste di cui parlavi, sono molto curioso.

[gugo82]

"gugo82":Ad esempio, ci sono successioni che tendono a zero in [tex]$L^p$[/tex], ma non hanno limite puntuale.

Sia:

- [tex]$u_0(x)=\chi_{[0,1[} (x)$[/tex];
- [tex]$u_1(x)=\chi_{[0,\frac{1}{2}[} (x)$[/tex] e [tex]$u_2(x)=\chi_{[\frac{1}{2},1[} (x)$[/tex];
- [tex]$u_3(x)=\chi_{[0,\frac{1}{4}[} (x)$[/tex], [tex]$u_4(x)=\chi_{[\frac{1}{4},\frac{1}{2}[} (x)$[/tex], [tex]$u_5(x)=\chi_{[\frac{1}{2} ,\frac{3}{4}[} (x)$[/tex] e [tex]$u_6(x)=\chi_{[\frac{3}{4} ,1[} (x)$[/tex];
- [tex]$u_7(x)=\chi_{[0,\frac{1}{8}[} (x)$[/tex], [tex]$u_8(x)=\chi_{[\frac{1}{8},\frac{1}{4}[} (x)$[/tex], [tex]$u_9(x)=\chi_{[\frac{1}{4} ,\frac{3}{8}[} (x)$[/tex], [tex]$u_{10}(x)=\chi_{[\frac{3}{8} ,\frac{1}{2}[} (x)$[/tex], [tex]$u_{11}(x)=\chi_{[\frac{1}{2} ,\frac{5}{8}[} (x)$[/tex], [tex]$u_{12}(x)=\chi_{[\frac{5}{8},\frac{3}{4}[} (x)$[/tex], [tex]$u_{13}(x)=\chi_{[\frac{3}{4} ,\frac{7}{8}[} (x)$[/tex] e [tex]$u_{14}(x)=\chi_{[\frac{7}{8} ,1[} (x)$[/tex]
- ...

Questa è una successione di funzioni caratteristiche di intervalli d'ampiezza decrescente, che si muovono dentro l'intervallo [tex]$[0,1]$[/tex] senza mai stabilizzarsi.
Evidentemente [tex]$\lVert u_n\rVert_p\to 0$[/tex], quindi [tex]$u_n\to 0\ \text{in $L^p$}$[/tex] per ogni [tex]$1\leq p<\infty$[/tex]; d'altra parte per nessun [tex]$x$[/tex] la successione di termine generale [tex]$u_n(x)$[/tex] ha limite, giacché tra i suoi termini si ripetono i valori [tex]$0$[/tex] ed [tex]$1$[/tex] sempre oscillando (quindi non c'è nemmeno convergenza in [tex]$L^\infty$[/tex]).

"gugo82":Oppure successioni che convergono a zero in [tex]$L^\infty$[/tex] ma non convergono in [tex]$L^p$[/tex].

Siano [tex]$p>1$[/tex] ed:

[tex]$u_n(x):=\begin{cases} \frac{1}{n^{1/p}} &\text{, se $x\in [0,n]$} \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}$[/tex];

evidentemente [tex]$u_n\to 0\ \text{in $L^\infty$}$[/tex], ma d'altra parte per ogni [tex]$n$[/tex] è [tex]$\lVert u_n\rVert_p=1$[/tex], sicché [tex]$u_n\not\to 0\ \text{in $L^p$}$[/tex].
Inoltre [tex]$(u_n)$[/tex] non è di Cauchy in [tex]$L^p$[/tex], come si può verificare facilmente calcolando esplicitamente [tex]$\lVert u_n-u_{2n}\lVert_p$[/tex], ergo tale successione non può convergere verso alcuna funzione di [tex]$L^p$[/tex].

"gugo82":Ovvero successioni che convergono puntualmente a zero ma non convergono in [tex]$L^p$[/tex].

Basta considerare la successione il cui termine generale [tex]$u_n(x)$[/tex] ha il grafico riportato in figura:
[asvg]xmin=0;xmax=1;ymin=0;ymax=4;
axes();
stroke="red"; strokewidth=2;
line([0,0],[0.25,2]); line([0.25,2],[0.5,0]); line([0.5,0],[1,0]);
stroke="lightgrey"; strokewidth=1; line([0.25,0],[0.25,2]); line([0.25,2],[0,2]);
text([0.25,0],"1/(2n)",below); text([0.5,0],"1/n",below); text([0,0],"0",belowleft); text([1,0],"1",below);
text([0,2],"n",left);[/asvg]
Tale successione ha limite puntuale nullo in tutto [tex]$[0,1]$[/tex], però si ha [tex]$\lVert u_n\rVert_1=1$[/tex], ergo la successione non può convergere a zero in [tex]$L^1$[/tex]; d'altra parte non è difficile vedere che [tex]$\lVert u_n-u_{2n}\lVert_1\geq \tfrac{1}{4}$[/tex], quindi la successione non è di Cauchy in [tex]$L^1$[/tex] e perciò non può convergere ad alcuna funzione [tex]$L^1$[/tex].

Per il caso generale [tex]$p>1$[/tex] si può adattare l'esempio precedente.

"gugo82":O, se ti interessa il comportamento delle funzioni di [tex]$L^p$[/tex], ci sono funzioni continue (anche molto regolari) in [tex]$L^p(\mathbb{R})$[/tex] che non tendono a zero all'infinito, anzi...

Basta considerare una funzione [tex]$u(x)$[/tex] col grafico "a triangolini" del tipo:
[asvg]xmin=0; xmax=10; ymin=0;ymax=5;
axes();
stroke="red"; strokewidth=2;
line([0,0],[1,1]); line([1,1],[2,0]); line([2,0],[4,0]); line([4,0],[4.5,2]); line([4.5,2],[5,0]); line([5,0],[8,0]); line([8,0],[8.25,4]); line([8.25,4],[8.5,0]); line([8.5,0],[11,0]);[/asvg]
in cui l'ampiezza delle basi [tex]$b_n$[/tex] e le altezze [tex]$h_n$[/tex] sono scelte in modo che:

- [tex]$b_n\to 0$[/tex],
- [tex]$h_n\to +\infty$[/tex],
- [tex]\sum_{n=1}^{+\infty} b_nh_n<+\infty[/tex],

e le basi sono in corrispondenza di intervallini che si muovono verso [tex]$+\infty$[/tex].
Per com'è definita [tex]$u(x)$[/tex] si ha:

[tex]$\int_0^{+\infty}u\ \text{d} \mathcal{L} \propto \sum_{n=1}^{+\infty} b_nh_n <+\infty$[/tex],

quindi [tex]$u(x)$[/tex] è in [tex]$L^1$[/tex] e però non si ha [tex]$\lim_{x\to +\infty} u(x)=0$[/tex] perchè i vertici dei triangolini divergono positivamente.

[j18eos]

Mi permetto di sottolineare che nell'ultimo esempio [tex]$\lim_{x\to+\infty}u(x)=\not\exists$[/tex] in quanto [tex]$\liminf_{x\to+\infty}u(x)=0;\,\limsup_{x\to+\infty}u(x)=+\infty$[/tex].