Centro di massa di un solido
Buonasera qualcuno sa darmi un consiglio su come svolgere questo esercizio ?
Conoscendo la formula per il calcolo del centro di massa :
in modo analogo per $y$ e $z$
essendo la densità uguale ad $1$ (solido omogeneo) abbiamo che la massa equivale al volume.
Se non ho sbagliato nulla,il dominio dovrebbe essere D (quello in rosso) , cosi avevo pensato che la cosa più facile da fare fosse scegliere D= Tutto il quadrato-D1-D2
Quindi fare l'integrale sul quadrato [0,2],[0,2] , e poi sottrargli il doppio dell'integrale su D1 (perchè mi sembra che D1 sia uguale a D2).
Quindi per trovare il volume, fare l'integrale triplo con estremi di integrazione : $0
il quale da come risultato da $8$.
Poi sottrargli (se non ho sbagliato gli estremi ), il doppio dell'integrale su D1 , cioè
l'integrale triplo con $1
É giusto procedere in questo modo ?
Ho provato ma non mi viene lo stesso risultato di quello del testo ....ho sbagliato gli estremi ?
Ringrazio in anticipo chiunque ha dei consigli da darmi...
Conoscendo la formula per il calcolo del centro di massa :
in modo analogo per $y$ e $z$
essendo la densità uguale ad $1$ (solido omogeneo) abbiamo che la massa equivale al volume.
Se non ho sbagliato nulla,il dominio dovrebbe essere D (quello in rosso) , cosi avevo pensato che la cosa più facile da fare fosse scegliere D= Tutto il quadrato-D1-D2
Quindi fare l'integrale sul quadrato [0,2],[0,2] , e poi sottrargli il doppio dell'integrale su D1 (perchè mi sembra che D1 sia uguale a D2).
Quindi per trovare il volume, fare l'integrale triplo con estremi di integrazione : $0
il quale da come risultato da $8$.
Poi sottrargli (se non ho sbagliato gli estremi ), il doppio dell'integrale su D1 , cioè
l'integrale triplo con $1
É giusto procedere in questo modo ?
Ho provato ma non mi viene lo stesso risultato di quello del testo ....ho sbagliato gli estremi ?
Ringrazio in anticipo chiunque ha dei consigli da darmi...
Risposte
qualche idea ? 
Purtroppo sono parecchio ignorante e quindi l'unica cosa che posso fare è ragionare con te, facendo domande invece di dare risposte
Non mi trovo molto d'accordo, perché escludi le parti nel II e IV quadrante?
Cerco di immaginarmi il solido con cui abbiamo a che fare: si tratta di una sorta di "cilindro" la cui base è la porzione di piano compresa tra le due parabole ed è alto $2$ perché viene tagliato dai due piani paralleli $z=0$ e $z=2$.
Essendo omogeneo per trovare il suo centro di massa possiamo sfruttare le sue simmetrie, per quanto riguarda la quota $z$ ci troviamo perfettamente a metà strada $z=1$, per quanto riguarda le altre due coordinate ci accorgiamo che le due parabole sono simmetriche rispetto alla bisettrice di I e III quadrante, vedi bene che puoi passare dall'una all'altra semplicemente scambiando di posto la $x$ con la $y$, le coordinate del centro di massa si troveranno lungo la bisettrice di I e III quadrante (cioè le coordinate $x$ e $y$ saranno uguali).
Ora non ci resta altro da fare che trovare la $x_0$ (alternativamente la $y_0$) tale che la retta passante per il punto $P(x_0;y_0)$ e con coefficiente angolare $-1$ (perpendicolare cioè a $y=x$) tagli la nostra figura in due parti tra loro equivalenti.
Cosa ne pensi?
Se ti ho fatto perdere tempo, mi scuso.
Appena puoi modifica usando i codici.
"ummo89":Non mi piace come ti sei espresso qui, se il solido è omogeneo la sua massa è proporzionale al suo volume, se il solido è una porzione di acqua distillata a $4°C$ $1dm^3$ ha massa $1kg$
Buonasera qualcuno sa darmi un consiglio su come svolgere questo esercizio ?
Conoscendo la formula per il calcolo del centro di massa :
in modo analogo per $y$ e $z$
essendo la densità uguale ad $1$ (solido omogeneo) abbiamo che la massa equivale al volume.
"ummo89":
Se non ho sbagliato nulla,il dominio dovrebbe essere D (quello in rosso) , cosi avevo pensato che la cosa più facile da fare fosse scegliere D= Tutto il quadrato-D1-D2
Non mi trovo molto d'accordo, perché escludi le parti nel II e IV quadrante?
Cerco di immaginarmi il solido con cui abbiamo a che fare: si tratta di una sorta di "cilindro" la cui base è la porzione di piano compresa tra le due parabole ed è alto $2$ perché viene tagliato dai due piani paralleli $z=0$ e $z=2$.
Essendo omogeneo per trovare il suo centro di massa possiamo sfruttare le sue simmetrie, per quanto riguarda la quota $z$ ci troviamo perfettamente a metà strada $z=1$, per quanto riguarda le altre due coordinate ci accorgiamo che le due parabole sono simmetriche rispetto alla bisettrice di I e III quadrante, vedi bene che puoi passare dall'una all'altra semplicemente scambiando di posto la $x$ con la $y$, le coordinate del centro di massa si troveranno lungo la bisettrice di I e III quadrante (cioè le coordinate $x$ e $y$ saranno uguali).
Ora non ci resta altro da fare che trovare la $x_0$ (alternativamente la $y_0$) tale che la retta passante per il punto $P(x_0;y_0)$ e con coefficiente angolare $-1$ (perpendicolare cioè a $y=x$) tagli la nostra figura in due parti tra loro equivalenti.
Cosa ne pensi?
Se ti ho fatto perdere tempo, mi scuso.
"ummo89":
(scusate ma ho problemi di connessione non riesco a caricare i simboli ...)
Appena puoi modifica usando i codici.
Grazie per i consigli , comunque ho escluso le parti nel secondo e quarto quadrante , perchè le condizioni sono $x>y^2 - y$ e $y>x^2 - x$
nel testo c'è scritto $>=$, significa che la frontiera è inclusa,
noto che il punto $V(1/2;-1/4)$, vertice della parabola $y=x^2-x$, si trova nel IV quadrante e soddisfa la condizione iniziale, anche il punto $(1/2;-1/8)$, che si trova nel IV quadrante soddisfa la condizione iniziale.
$-1/8>1/4-1/2$
$-1/8> -1/4$
Mi sto confondendo?
noto che il punto $V(1/2;-1/4)$, vertice della parabola $y=x^2-x$, si trova nel IV quadrante e soddisfa la condizione iniziale, anche il punto $(1/2;-1/8)$, che si trova nel IV quadrante soddisfa la condizione iniziale.
$-1/8>1/4-1/2$
$-1/8> -1/4$
Mi sto confondendo?
Il dominio effettivo è quello in colore verde ( che chiamo $D$) mentre l'integrazione avviene sul solido $V$ che ha per base $D$ ed è limitato dai piani $z=0,z=2$. A causa della simmetria di $D$ rispetto alla retta $y=x$, il centro di massa richiesto ( che chiamo $C$) si può indicare con $C\equiv(x_c,x_c,z_c)$
Calcoliamo dapprima $z_c$ :
$z_c={int int int _Vzdxdydz}/{int int int _V dxdydz}={int_0^2zdzintint_Ddxdy}/{int_0^2dzintint_Ddxdy}={2intint_Ddxdy}/{2intint_Ddxdy}=1$
Poi calcolo $Area(D)$:
$Area(D)=2int_0^2[x-(x^2-x)]dx=2int_0^2(2x-x^2)dx=8/3$
Infine calcolo $x_c=y_c$:
(1) $x_c={int int int _Vxdxdydz}/{int int int _V dxdydz}={int_0^2dz intint_D xdxdy}/{int_0^2dzintint _Ddxdy}={ intint_Dxdxdy}/{ Area(D)}=3/8 int int _Dxdxdy$
Ora si ha :
$int int _Dxdxdy=int_{-1/4}^0xdx int_{(1-\sqrt{1+4x})/2)^{(1+\sqrt{1+4x})/2)dy+int_0^2xdx int_{x^2-x}^{(1+\sqrt{1+4x})/2)dy$
Eseguendo i vari calcoli ( piuttosto laboriosi ...) risulta :
$int int _Dxdxdy={32}/{15}$
e sostituendo in (1):
$x_c=3/8 cdot {32}/{15}= 4/5 $
Infine :
$C\equiv(4/5,4/5,1)$
P.S. Per non impazzire con il LaTeX ho omesso vari calcoli: faresti un utile esercizio se li approfondissi, tenendo conto anche della figura.
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