C'è una differenza tra proprietà e assioma di completezza?
Come da titolo c'è una differenza tra proprietà e assioma di comlpetezza di R oppure sono la stessa cosa?
Insomma la prof. non è stata molto chiara a proposito e mentre 1 minuto prima spiegava la proprietà di completezza poi ha scritto assioma..insomma è lo stesso?
Insomma la prof. non è stata molto chiara a proposito e mentre 1 minuto prima spiegava la proprietà di completezza poi ha scritto assioma..insomma è lo stesso?
Risposte
Io direi di sì. A scanso di equivoci puoi fermare la professoressa per qualche secondo a fine lezione per chiederle una delucidazione.
Per me, la nomemclatura può dipendere da come avete introdotto il campo reale.
Se l'avete introdotto per via assiomatica (cioè: "esiste un campo che soddisfa questi assiomi; tale campo lo chiamo \(\mathbb{R}\)"), allora la completezza figura necessariamente tra gli assiomi che individuano \(\mathbb{R}\): in tal caso si parla di assioma di completezza.
Se, invece, avete costruito esplicitamente \(\mathbb{R}\) partendo dai razionali, allora la completezza è una proprietà che va dimostrata (non viene "gratis" dalla costruzione): in tal caso si parla di proprietà di completezza.
A parte questa questione di nomenclatura, la cosa è sempre la stessa:
o lo stesso enunciato con "inferiormente" ed "inferiore" al posto di "superiormente" e "superiore".
Se l'avete introdotto per via assiomatica (cioè: "esiste un campo che soddisfa questi assiomi; tale campo lo chiamo \(\mathbb{R}\)"), allora la completezza figura necessariamente tra gli assiomi che individuano \(\mathbb{R}\): in tal caso si parla di assioma di completezza.
Se, invece, avete costruito esplicitamente \(\mathbb{R}\) partendo dai razionali, allora la completezza è una proprietà che va dimostrata (non viene "gratis" dalla costruzione): in tal caso si parla di proprietà di completezza.
A parte questa questione di nomenclatura, la cosa è sempre la stessa:
Ogni sottoinsieme \(A\subseteq \mathbb{R}\) non vuoto e limitato superiormente ha estremo superiore.
o lo stesso enunciato con "inferiormente" ed "inferiore" al posto di "superiormente" e "superiore".
gugo82 potresti spiegare in che senso dimostrare? Perchè ha introdotto prima come proprietà ma poi il tutto è sfumato nell'assioma..
@login: Ti è stata presentata una costruzione del campo dei reali oppure vi è stato introdotto per via assiomatica?
Presumo la seconda, visto che nei corsi di oggi non si ha il tempo materiale per trattarlo diversamente.
Presumo la seconda, visto che nei corsi di oggi non si ha il tempo materiale per trattarlo diversamente.
bhè a partire dal fatto che un certo insieme di elementi il cui quadrato è minore di 2 non aveva estremi superiori e inferiori in Q, è stato introdotto R, dopodichè è stato enunciata come proprietà
Che per ogni A sottoinsieme di R, se A è limitato superiormente allora ha un estremo superiore, perciò l'insieme R è completo, cioè non ha buchi tra numeri razionali, ma è continuo..detto ciò all'improvviso c'è stata una costruzione assiomatica per cui presumiamo l'esistenza di un campo astratto R che è ordinato e completo..
Infine sono state introdotte le partizioni di R contigue separate da un solo elemento per l'assioma di completezza e la densità di Q in R.
Ma il un qualsiasi testo di teoria lo spiega meglio? Magari con un po' più di filo logico?
Che per ogni A sottoinsieme di R, se A è limitato superiormente allora ha un estremo superiore, perciò l'insieme R è completo, cioè non ha buchi tra numeri razionali, ma è continuo..detto ciò all'improvviso c'è stata una costruzione assiomatica per cui presumiamo l'esistenza di un campo astratto R che è ordinato e completo..
Infine sono state introdotte le partizioni di R contigue separate da un solo elemento per l'assioma di completezza e la densità di Q in R.
Ma il un qualsiasi testo di teoria lo spiega meglio? Magari con un po' più di filo logico?
Viste le perplessità che hai ti consiglio vivamente di fare riferimento al docente per eventuali chiarimenti o all'eventuale libro di testo su cui poggia il tuo corso; se non ve n'è uno, puoi dare una letta al testo "Analisi 1" di Giusti.
Grazie Seneca, Il testo che hanno dato di riferimento è il Bramanti-Pagani-Salsa..è un buon testo? Insomma c'è una buona probabilità di trovare soluzioni ai miei problemi?
Lascia stare il Bramanti-Pagani-Salsa; se ti serve un buon testo, prendi il vecchio Pagani-Salsa.
In alternativa, ogni testo di Analisi pre-riforma (cioè stampato prima del 2000).
Per quanto riguarda questo specifico problema, sono pochi i testi che presentano la costruzione di \(\mathbb{R}\) a partire da \(\mathbb{Q}\), quindi probabilmente non è nelle intenzioni del docente presentare tale costruzione; ne viene che la completezza è da considerarsi come assioma nella presentazione assiomatica del campo reale.
Giusto per curiosità, descrivo brevemente come si fa la dimostrazione della proprietà di completezza quando si è costruito \(\mathbb{R}\) col metodo delle sezioni di Dedekind.
[Per una velocissima panoramica sulla costruzione degli insiemi numerici, puoi leggere qui.]
Innanzitutto, ricordo che, nella costruzione a là Dedekind, un numero reale è una coppia ordinata \((X,\mathbb{Q}\setminus X)\) (detta anche sezione di Dedekind di \(\mathbb{Q}\)), ove:
[list=a] [*:yzcuhgz6]\(X\subset \mathbb{Q}\) è una parte propria non vuota di \(\mathbb{Q}\) limitata superiormente e privata dell'eventuale massimo
[/*:m:yzcuhgz6]
[*:yzcuhgz6] \(\mathbb{Q}\setminus X\) è l'insieme dei maggioranti di \(X\) in \(\mathbb{Q}\).[/*:m:yzcuhgz6][/list:o:yzcuhgz6]
Ad esempio, \(X:=\{p\in \mathbb{Q}:\ p<0 \text{ oppure } p^2<2\}\) è un sottoinsieme proprio non vuoto di \(\mathbb{Q}\) limitato superiormente e \(\mathbb{Q}\setminus X =\{p\in \mathbb{Q}:\ p>0 \text{ e } p^2>2\}\) è l'insieme dei maggioranti di \(X\); quindi \((X,\mathbb{Q}\setminus X)\) è una sezione di \(\mathbb{Q}\), ossia un numero reale.*
L'ordine in \(\mathbb{R}\), invece, è definito come segue: per ogni \(x=(X,\mathbb{Q}\setminus X), y=(Y,\mathbb{Q}\setminus Y) \in \mathbb{R}\), si scrive \(x\leq y\) se e solo se \(X\subseteq Y\) in \(\mathcal{P}(\mathbb{Q})\).
A questo punto, si dimostra che:
facendo vedere che la coppia \(\gamma := (\Gamma , \mathbb{Q}\setminus \Gamma)\), ove:
\[
\Gamma = \bigcup_{x=(X,\mathbb{Q}\setminus X)\in A} X
\]
è eventualmente privato del massimo, è un numero reale (ossia una sezione di Dedekind, i.e. \((\Gamma, \mathbb{Q}\setminus \Gamma)\) soddisfa le precedenti a. e b.) e che esso soddisfa le proprietà:
\[
\begin{cases}
\gamma \text{ è un maggiorante di } A\\
\gamma \leq y \text{ per ogni } y \text{ maggiorante di } A
\end{cases}
\]
che individuano l'estremo superiore come il più piccolo dei maggioranti di \(A\) in \(\mathbb{R}\)**.
__________
* Una volta introdotta l'operazione di moltiplicazione in \(\mathbb{R}\), si dimostra che il numero reale \(x\) di questo esempio è l'unico numero positivo tale che \(x^2=2\), cioè il numero che si usa denotare con \(\sqrt{2}\).
** Ricordo che \(z\) è un maggiorante di \(A\) se e solo se \(\forall x\in A,\ x\leq z\).
In alternativa, ogni testo di Analisi pre-riforma (cioè stampato prima del 2000).
Per quanto riguarda questo specifico problema, sono pochi i testi che presentano la costruzione di \(\mathbb{R}\) a partire da \(\mathbb{Q}\), quindi probabilmente non è nelle intenzioni del docente presentare tale costruzione; ne viene che la completezza è da considerarsi come assioma nella presentazione assiomatica del campo reale.
Giusto per curiosità, descrivo brevemente come si fa la dimostrazione della proprietà di completezza quando si è costruito \(\mathbb{R}\) col metodo delle sezioni di Dedekind.
[Per una velocissima panoramica sulla costruzione degli insiemi numerici, puoi leggere qui.]
Innanzitutto, ricordo che, nella costruzione a là Dedekind, un numero reale è una coppia ordinata \((X,\mathbb{Q}\setminus X)\) (detta anche sezione di Dedekind di \(\mathbb{Q}\)), ove:
[list=a] [*:yzcuhgz6]\(X\subset \mathbb{Q}\) è una parte propria non vuota di \(\mathbb{Q}\) limitata superiormente e privata dell'eventuale massimo
[/*:m:yzcuhgz6]
[*:yzcuhgz6] \(\mathbb{Q}\setminus X\) è l'insieme dei maggioranti di \(X\) in \(\mathbb{Q}\).[/*:m:yzcuhgz6][/list:o:yzcuhgz6]
Ad esempio, \(X:=\{p\in \mathbb{Q}:\ p<0 \text{ oppure } p^2<2\}\) è un sottoinsieme proprio non vuoto di \(\mathbb{Q}\) limitato superiormente e \(\mathbb{Q}\setminus X =\{p\in \mathbb{Q}:\ p>0 \text{ e } p^2>2\}\) è l'insieme dei maggioranti di \(X\); quindi \((X,\mathbb{Q}\setminus X)\) è una sezione di \(\mathbb{Q}\), ossia un numero reale.*
L'ordine in \(\mathbb{R}\), invece, è definito come segue: per ogni \(x=(X,\mathbb{Q}\setminus X), y=(Y,\mathbb{Q}\setminus Y) \in \mathbb{R}\), si scrive \(x\leq y\) se e solo se \(X\subseteq Y\) in \(\mathcal{P}(\mathbb{Q})\).
A questo punto, si dimostra che:
Ogni sottoinsieme non vuoto \(A\subseteq \mathbb{R}\) limitato superiormente è dotato di estremo superiore.
facendo vedere che la coppia \(\gamma := (\Gamma , \mathbb{Q}\setminus \Gamma)\), ove:
\[
\Gamma = \bigcup_{x=(X,\mathbb{Q}\setminus X)\in A} X
\]
è eventualmente privato del massimo, è un numero reale (ossia una sezione di Dedekind, i.e. \((\Gamma, \mathbb{Q}\setminus \Gamma)\) soddisfa le precedenti a. e b.) e che esso soddisfa le proprietà:
\[
\begin{cases}
\gamma \text{ è un maggiorante di } A\\
\gamma \leq y \text{ per ogni } y \text{ maggiorante di } A
\end{cases}
\]
che individuano l'estremo superiore come il più piccolo dei maggioranti di \(A\) in \(\mathbb{R}\)**.
__________
* Una volta introdotta l'operazione di moltiplicazione in \(\mathbb{R}\), si dimostra che il numero reale \(x\) di questo esempio è l'unico numero positivo tale che \(x^2=2\), cioè il numero che si usa denotare con \(\sqrt{2}\).
** Ricordo che \(z\) è un maggiorante di \(A\) se e solo se \(\forall x\in A,\ x\leq z\).
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