C'è inclusione continua tra questi spazi?

[dissonance]

Gli spazi funzionali in questione sono:

1) [tex]\mathcal{E}(\mathbb{R})[/tex], definito come l'insieme delle funzioni [tex]C^\infty(\mathbb{R})[/tex] con le seminorme

[tex]$\lvert f \rvert_{h, K, \infty}=\max_{t \in K}\lvert \frac{d^h}{dt^h}f(t) \rvert[/tex], dove [tex]h\in\mathbb{N},\ K\subset\mathbb{R}[/tex] compatto;

2) [tex]\mathcal{S}(\mathbb{R})[/tex] lo spazio di Schwartz.

E' vero che [tex]\mathcal{S}(\mathbb{R}) \hookrightarrow \mathcal{E}(\mathbb{R})[/tex]?

[dissonance]

Mi spiego meglio. Lo spazio [tex]\mathcal{E}(\mathbb{R})[/tex] è quello dei test per le distribuzioni a supporto compatto; nel link ad esso ci si riferisce con il simbolo [tex]C^{\infty}(\mathbb{R})[/tex]. Invece lo spazio di Schwartz è quello dei test per le distribuzioni temperate.

Come sappiamo una distribuzione a supporto compatto è anche una distribuzione temperata. La cosa più naturale sarebbe

[tex]\mathcal{S}(\mathbb{R}) \hookrightarrow \mathcal{E}(\mathbb{R})[/tex]

che implicherebbe

[tex]\mathcal{E}'(\mathbb{R}) \hookrightarrow \mathcal{S}'(\mathbb{R})[/tex].

Ma è vero?

[gugo82]

Scusa dissonance, ma per ogni fissata [tex]$\varphi \in \mathcal{S}$[/tex] non si ha [tex]$|\varphi |_{h,K,\infty} =\max_K \lvert \varphi^{(h)} \rvert \leq \max_{\mathbb{R}} \lvert \varphi^{(h)}\rvert =\lVert \varphi^{(h)} \rVert_{0,h} <+\infty$[/tex], sicché ogni seminorma "d'ordine zero" in [tex]$\mathcal{S}$[/tex] controlla una famiglia di seminorme (indicizzata sui compatti) in [tex]$\mathcal{E}$[/tex]?
[Ho ripreso le notazioni di WIKI per la seminorma in [tex]$\mathcal{S}$[/tex], i.e. [tex]$\lVert \varphi \rVert_{\alpha ,\beta} :=\max_{\mathbb{R}} \lvert x^\alpha\ \varphi^{(\beta)}\rvert$[/tex]; per seminorma "d'ordine zero" intendo una delle seminorme con [tex]$\alpha =0$[/tex].]

Quindi se [tex]$\varphi_n \to \varphi \text{ in } \mathcal{S}$[/tex] credo sia anche vero che [tex]$\varphi_n \to \varphi \text{ in } \mathcal{E}$[/tex].

[dissonance]

Oh benissimo! Mi ero impaperato perché mi stavo sforzando di dimostrare la disuguaglianza inversa, cosa chiaramente falsa. Tutte queste seminorme mi mandano rapidamente nel pallone.

Grazie Gugo!

[fireball1]

Mamma mia ragazzi... Vi invidio... Come fate a ragionare in modo così perfetto e limpido? A volte penso che avrei dovuto fare Matematica, per imparare a ragionare così e a maneggiare in tutta disinvoltura oggetti così complicati...

[dissonance]

"Perfetto" il mio ragionamento?!?
Praticamente stavo cercando di dimostrare che $1<0$. Il linguaggio complicato, poi, faceva sembrare tutto una grande opera di ingegno, tutto qua. Leggi la pagina ironica di suggerimenti per gli autori di matematica di J.Milne, vedrai come questo fenomeno è spesso sfruttato dai matematici più scadenti.