[CAUCHY]Problema di Cauchy, I ordine

[DigYourOwnHole]

\(\displaystyle xu'(x)−2u(x)=8x^4,∀x>0 \)
\(\displaystyle u(1)=0 \)
Allora \(\displaystyle u(2)=? \)

Ecco come ho proceduto:

ho tolto la "u" perché mi confonde...
\(\displaystyle xy'(x)−2y(x)=8x^4,∀x>0 \)
\(\displaystyle y(1)=0 \)

Poi...
\(\displaystyle xy'(x)=8(x^4)+2y(x) \)
\(\displaystyle y'(x)=8(x^3)+(2y(x))/x \)

Poi ho fatto l'integrale
\(\displaystyle ∫(8(x^3)+(2y(x))/x)dx \)
Ma provando a risolvere l'integrale mi ritrovo:
\(\displaystyle 2x^4 + ∫(2y(x)/x)dx \)
\(\displaystyle 2x^4 + 2∫((1/x)y(x))dx \)
Ho provato ad utilizzare l'integrazione per parti ma non ne vengo fuori

[porzio1]

poniamola nella forma
$y'-2/xy=8x^3$
questa è un'equazione differenziale lineare del primo ordine,cioè del tipo $y'+p(x)y=q(x)$
posto $ P(x)=int_()^() p(x) dx $
la sua soluzione è
$y=e^(-P(x))[int q(x)e^(P(x))dx+c]$

[gugo82]

Ovviamente, non ti ritrovi roba semplice da integrare perché la EDO non si risolve come hai fatto tu.
Quindi è meglio se vai a rivederti come si risolvono le EDO del primo ordine.

Ad ogni buon conto, però, non c'è poi così bisogno di ricordarsi nulla, perché l'esercizio si risolve con un po' di passaggini intuitivi.

"DigYourOwnHole":\(\displaystyle xu'(x)−2u(x)=8x^4,∀x>0 \)
\(\displaystyle u(1)=0 \)
Allora \(\displaystyle u(2)=? \)

Dividendo m.a.m. la EDO per \(x^3\) essa diventa:
\[
\frac{1}{x^2}\ u^\prime (x) - \frac{2}{x^3}\ u(x) = 8x\; ,
\]
ovvero, ricordando la regola di derivazione del prodotto, otteniamo:
\[
\left( \frac{1}{x^2}\ u(x)\right)^\prime = 8x
\]
per \(x>0\). Dato che tale relazione è soddisfatta per ogni \(x>0\), essa implica l'uguaglianza delle funzioni integrali di punto iniziale \(1\):
\[
\int_1^x \left( \frac{1}{t^2}\ u(t)\right)^\prime\ \text{d} t = \int_1^x 8t\ \text{d} t
\]
in \(]0,\infty[\) e, per il Teorema Fondamentale del Calcolo, ciò equivale a dire che abbiamo:
\[
\frac{1}{x^2}\ u(x) - u(1) = 4x^2 - 4\; ,
\]
cioé:
\[
\frac{1}{x^2}\ u(x) = 4(x^2-1)
\]
per ogni \(x>0\) (perché \(u(1)=0\)). Da qui, calcolare \(u(2)\) è un gioco.