Cauchy - dove definita?
Ciao,
non mi è molto chiaro che cosa si intende per "determinare precisando dove è definita la soluzione..."
ad esempio:
$y'=3y^(2/3)$
$y(0)=1$
per farla breve risolvendo il problema ottengo come soluzione $y=(x+1)^3$ (che è definita su tutto R), mentre la soluzione corretta è:
(-1,+inf)
quindi cosa devo guardare per sapere dove è definita?
non mi è molto chiaro che cosa si intende per "determinare precisando dove è definita la soluzione..."
ad esempio:
$y'=3y^(2/3)$
$y(0)=1$
per farla breve risolvendo il problema ottengo come soluzione $y=(x+1)^3$ (che è definita su tutto R), mentre la soluzione corretta è:
(-1,+inf)
quindi cosa devo guardare per sapere dove è definita?
Risposte
Non mi torna la soluzione.
Considera che se $y(x)= (x+1)^3$ allora $y'(x)= 3(x+1)^2 != y(x)^(2/3)$. La funzione da te scritta non soddisfa l'equazione differenziale. Prova a mettere i passaggi così vediamo dov'è l'errore.
Considera che se $y(x)= (x+1)^3$ allora $y'(x)= 3(x+1)^2 != y(x)^(2/3)$. La funzione da te scritta non soddisfa l'equazione differenziale. Prova a mettere i passaggi così vediamo dov'è l'errore.
perdonami era $y'=3y^(2/3)$ ho sbagliato a riportare 
separazione variabili:
$int (dy/(3y^(2/3)))=int dx$
$y^(1/3)=x + G$
$y=(x + G)^3$
$(0 + G)^3=1$ quindi G=1 e ottengo come soluzione $y=(x + 1)^3$
da qui non capisco come posso dire che il dominio è (-1,+inf)
separazione variabili:
$int (dy/(3y^(2/3)))=int dx$
$y^(1/3)=x + G$
$y=(x + G)^3$
$(0 + G)^3=1$ quindi G=1 e ottengo come soluzione $y=(x + 1)^3$
da qui non capisco come posso dire che il dominio è (-1,+inf)
Secondo me è la solita questione formale di "dove è definita la funzione potenza"? Nell'equazione compare il termine $y^(2/3)$, ovvero una potenza con esponente non intero. Secondo alcuni (su questo forum se ne discute fino alla nausea ad intervalli regolari) queste potenze sono definite solo quando la base è positiva. Adottando questo punto di vista, l'equazione data ha senso solo per $y(x)>0$, quindi l'insieme di definizione delle soluzioni trovate andrà ristretto perché questa condizione sia sempre verificata. Ad esempio se prendi la soluzione $y(x)=(x+1)^3$, la condizione $y(x)>0$ è equivalente a $x\in(-1, +infty)$.
grazie mille 
Purtroppo mi trovo un po' in difficoltà perchè non so come tu abbia affrontato le equazioni differenziali a variabili separabili. Ad ogni modo io affronterei il problema in questo modo:
(P.C)=${(y'(x)= 3y(x)^(2/3)),(y(0)=1):}$
L'equazione differenziale che interviene si presenta nella forma:
$y'(x)= a(x) b(y(x))$
Dove $a: I=RR\to RR$, $a(x)=1$
$b:J=RR\to RR$, $b(z)=3z^(2/3)$
Determiniamo gli zeri della funzione $b(z)$
$b(z)=0$ se e solo se $z=0$, scopriamo dunque che $y(x)=0$ è l'unica soluzione costante dell'equazione differenziale (e non del problema di Cauchy, visto che non rispetta le condizioni iniziali) ed è definita in tutto $I=RR$.
Ora osserviamo che la funzione $b(z)$ è localmente lipschitziana in $J_1:=(-\infty,0)$ e in $J_2:=(0,+ \infty)$ questo perchè è derivabile in entrambi gli intervalli (condizione sufficiente affinchè una funzione sia di Lipschitz in un intervallo $X$ è che sia derivabile in tale intervallo, e la derivata sia continua).
Tra i due intervalli, $J_1$ e $J_2$ prendiamo $J_2$, questo perchè $y(0)=1\in J_2$
Calcolo ora $A(x):= \int_{x_0}^x a(s)ds$ e $B(y)=\int_{y_0}^y b(s)^(-1)ds$
In questo caso particolare abbiamo:
$A(x)= \int_{0}^x 1ds= x$
$B(y)= \int_{1}^y 1/(3s^(2/3))ds =y(x)^(1/3)-1$
La soluzione del problema di Cauchy è:
$y(x)= B^(-1)(A(x))= (x+1)^3$
Bisogna ora determinare $I_0= Dom(y(x))$
$I_0$ è il più grande intervallo aperto contenuto in $I$ e contenente $x_0$ tale che $A(x)\in B(J_2) AA x\in I_0$
Ora $B(J_2)=(-1, +\infty)$ e $A(x)\in B(J_2)$ se e solo se $x\in (-1, +\infty)$ che è l'intervallo più grande in cui è definita la funzione soluzione
_________________________________________________
Scusatemi, ma questo è l'unico modo che ho trovato per giustificare quell'intervallo.
(P.C)=${(y'(x)= 3y(x)^(2/3)),(y(0)=1):}$
L'equazione differenziale che interviene si presenta nella forma:
$y'(x)= a(x) b(y(x))$
Dove $a: I=RR\to RR$, $a(x)=1$
$b:J=RR\to RR$, $b(z)=3z^(2/3)$
Determiniamo gli zeri della funzione $b(z)$
$b(z)=0$ se e solo se $z=0$, scopriamo dunque che $y(x)=0$ è l'unica soluzione costante dell'equazione differenziale (e non del problema di Cauchy, visto che non rispetta le condizioni iniziali) ed è definita in tutto $I=RR$.
Ora osserviamo che la funzione $b(z)$ è localmente lipschitziana in $J_1:=(-\infty,0)$ e in $J_2:=(0,+ \infty)$ questo perchè è derivabile in entrambi gli intervalli (condizione sufficiente affinchè una funzione sia di Lipschitz in un intervallo $X$ è che sia derivabile in tale intervallo, e la derivata sia continua).
Tra i due intervalli, $J_1$ e $J_2$ prendiamo $J_2$, questo perchè $y(0)=1\in J_2$
Calcolo ora $A(x):= \int_{x_0}^x a(s)ds$ e $B(y)=\int_{y_0}^y b(s)^(-1)ds$
In questo caso particolare abbiamo:
$A(x)= \int_{0}^x 1ds= x$
$B(y)= \int_{1}^y 1/(3s^(2/3))ds =y(x)^(1/3)-1$
La soluzione del problema di Cauchy è:
$y(x)= B^(-1)(A(x))= (x+1)^3$
Bisogna ora determinare $I_0= Dom(y(x))$
$I_0$ è il più grande intervallo aperto contenuto in $I$ e contenente $x_0$ tale che $A(x)\in B(J_2) AA x\in I_0$
Ora $B(J_2)=(-1, +\infty)$ e $A(x)\in B(J_2)$ se e solo se $x\in (-1, +\infty)$ che è l'intervallo più grande in cui è definita la funzione soluzione
_________________________________________________
Scusatemi, ma questo è l'unico modo che ho trovato per giustificare quell'intervallo.
molto esauriente grazie anche a te 
Dissonance e Mathematico hanno dato due buoni spunti di riflessione su un problema che ha diverse sfaccettature.
Se posso dire la mia, non mi piace com'è posta la domanda nel testo visto che è presente un uso improprio dell'articolo determinativo.
La questione fondamentale è che il secondo membro dell'equazione non è lipschitziano in $0$ (come si vede facilmente calcolando il limite per $y\to 0$ della derivata prima fatta rispetto ad $y$) e perciò si perde l'unicità della soluzione; infatti le due funzioni:
$y_1(x):=(x+1)^3 \quad$ e $y_2(x):=\{((x+1)^3, ", se " x>=-1),(0, ", se " x<=-1):}$
sono entrambe soluzioni del problema di Cauchy in esame.
Per quanto appena detto, è assolutamente improprio parlare de "la soluzione" del problema.
Il punto del teorema di esistenza ed unicità è che esso ha natura locale, poiché afferma che intorno al punto $(0,1)$ è possibile costruire una soluzione dell'equazione il cui grafico passa per quel punto.
Per passare da una soluzione locale ad una soluzione globale è necessario prolungare la soluzione trovata; quindi il problema è: "Fin dove posso prolungare, a destra ed a sinistra di $1$, in maniera univoca la soluzione locale del problema (la cui esistenza ed unicità locale è assicurata dal teorema omonimo)?".
La risposta naturale a questa domanda è: "Puoi prolungare la soluzione locale fino a dove sono soddisfatte le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità locale".
Nel nostro caso, le ipotesi del teorema sono soddisfatte fintantoché $y \in ]0,+oo[$ e quindi la soluzione locale $y(x)=(x+1)^3$ è prolungabile in maniera univoca a tutto il più grande intervallo contenente $x_0=0$ in cui essa si mantiene positiva, ossia in $]-1,+oo[$.
Le funzioni $y_1,y_2$ determinate prima mostrano che non appena la soluzione locale si annulla sono possibili due prolungamenti distinti, quindi a sinistra di $-1$ si perde del tutto la possibilità di un prolungamento univoco una volta passato il "punto singolare" della funzione $3y^(2/3)$.
Se posso dire la mia, non mi piace com'è posta la domanda nel testo visto che è presente un uso improprio dell'articolo determinativo.
La questione fondamentale è che il secondo membro dell'equazione non è lipschitziano in $0$ (come si vede facilmente calcolando il limite per $y\to 0$ della derivata prima fatta rispetto ad $y$) e perciò si perde l'unicità della soluzione; infatti le due funzioni:
$y_1(x):=(x+1)^3 \quad$ e $y_2(x):=\{((x+1)^3, ", se " x>=-1),(0, ", se " x<=-1):}$
sono entrambe soluzioni del problema di Cauchy in esame.
Per quanto appena detto, è assolutamente improprio parlare de "la soluzione" del problema.
Il punto del teorema di esistenza ed unicità è che esso ha natura locale, poiché afferma che intorno al punto $(0,1)$ è possibile costruire una soluzione dell'equazione il cui grafico passa per quel punto.
Per passare da una soluzione locale ad una soluzione globale è necessario prolungare la soluzione trovata; quindi il problema è: "Fin dove posso prolungare, a destra ed a sinistra di $1$, in maniera univoca la soluzione locale del problema (la cui esistenza ed unicità locale è assicurata dal teorema omonimo)?".
La risposta naturale a questa domanda è: "Puoi prolungare la soluzione locale fino a dove sono soddisfatte le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità locale".
Nel nostro caso, le ipotesi del teorema sono soddisfatte fintantoché $y \in ]0,+oo[$ e quindi la soluzione locale $y(x)=(x+1)^3$ è prolungabile in maniera univoca a tutto il più grande intervallo contenente $x_0=0$ in cui essa si mantiene positiva, ossia in $]-1,+oo[$.
Le funzioni $y_1,y_2$ determinate prima mostrano che non appena la soluzione locale si annulla sono possibili due prolungamenti distinti, quindi a sinistra di $-1$ si perde del tutto la possibilità di un prolungamento univoco una volta passato il "punto singolare" della funzione $3y^(2/3)$.
well done!
A parte il fatto che leggendo questo thread uno ha la netta sensazione che la matematica sia un'opinione
Forse un motivo risiede nel modo di esprimersi:
la frase "determinare precisando dove è definita la soluzione..." si può prestare a diverse letture (io ad esempio calcherei la mano su quanto notato da gugo82: visto che la soluzione non è unica, mi rifiuto di rispondere ad una domanda che dà per scontato una cosa non vera)
Ma se Larios ci illuminasse con qualche informazione aggiuntiva, in modo da poter contestualizzare meglio il problema...
A parte il fatto che leggendo questo thread uno ha la netta sensazione che la matematica sia un'opinione
Forse un motivo risiede nel modo di esprimersi:
la frase "determinare precisando dove è definita la soluzione..." si può prestare a diverse letture (io ad esempio calcherei la mano su quanto notato da gugo82: visto che la soluzione non è unica, mi rifiuto di rispondere ad una domanda che dà per scontato una cosa non vera)
Ma se Larios ci illuminasse con qualche informazione aggiuntiva, in modo da poter contestualizzare meglio il problema...
"Fioravante Patrone":
[...]
A parte il fatto che leggendo questo thread uno ha la netta sensazione che la matematica sia un'opinione
[...]
L'ho pensato anch'io Io sinceramente ho fatto il volpone, mi sono tolto dai piedi lo zero di $b(y)$ proprio per evitare i problemi di non unicità. Ritengo che la risposta di gugo82 sia da prediligere perchè non ha nascosto il problema ma l'ha affrontato di petto!
ne dovrei parlare col prof per capirci cosa è inteso a questo punto 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo