Cauchy

[DigYourOwnHole]

Ho provato a fare diversi esercizi ma non sono sicuro sul fatto che il metodo da me attuato sia giusto, ne posto qualcuno:

1. Risolvere il seguente problema di Cauchy:
$ { ( 5y'(x)-2y(x)+1=0),(y(0)=1):} $

$ y'(x)=(2y(x)-1)/5 $
$ y(x)=\int((2y(x)-1)/5)dx $
$ y(x)=(y(x)^2)/5-(1/5)x+C $
$ y(0)=1 rArr C=1 $
$ y(x)=(y(x)^2)/5-(1/5)x+1 $
_________________
2. Risolvere il seguente problema di Cauchy:
$ { ( 2y'(x)-3y(x)=0 ),(y(1)=0 ):} $

$ y'(x)=(3y(x))/2 $
$ y(x)=\int(3y(x))/2 $
$ y(x)=(3y(x)^2)/4+C $
$ y(1)=0 rArr C=-3/4 $
$ y(x)=(3y(x)^2)/4-3/4 $
_________________
3. Risolvere il seguente problema di Cauchy:
$ { ( y'(x)=3y(x)+1 ),( y(2)=4 ):} $

$ y'(x)=3y(x)+1 $
$ y(x)=\int3y(x)+1 $
$ y(x)=(3y(x)^2)/2+x+C $
$ y(2)=(3(4))/2+2+C=4 $
$ y(2)=6+2+C=4 $
$ C=-4 $
$ y(x)=(3y(x)^2)/2+x-4 $



Ho derivato e sembra essere giusto ma non voglio metterci la mano sul fuoco

[ciampax]

Tutto tragicamente errato. Secondo te $\int y(x)\ dx=\frac{y^2(x)}{2}+c$?? Bé, ti faccio presente che $D[y^2(x)]=2yy'$, per cui come vedi la cosa non torna assolutamente. Quelle che hai proposto sono EDO lineari del primo ordine, che si risolvono attraverso una "regola" standard.

Ti consiglio di studiare la Teoria prima di intraprendere queste imprese Titaniche senza senso e, magari, riguardare anche le banali regole di integrazione di base (perché mi pare tu abbia problemi anche lì).

P.S.: se mettevi la mano sul fuoco, saresti evaporato letteralmente!

[Brancaleone1]

Ti imposto il primo per avere una traccia.

${ ( 5y'(x)-2y(x)+1=0 ),( y(0)=1 ):}$

Questa equazione differenziale si riconduce alla forma:

$y'(x)+a(x)y(x)=f(x)$

ossia

$y'(x)-2/5y(x)=-1/5$

La "regola standard" che ti è già stata suggerita è:

$y(x)=e^(-A(x))[y_0+int_(x_0)^x f(t)e^(A(t))dt]$

dove

$A(x)=int_(x_0)^x a(t)dt$

Il tuo integrale è dunque:

$y(x)=exp(-int_0^x -2/5 dt)*{1+int_0^x [-1/5 exp(int_0^t -2/5 ds)]dt}$

[DigYourOwnHole]

Grazie, ho visto la dimostrazione della formuletta, ora è tutto più chiaro.