Caso particolare equazione di Eulero-Lagrange
Ho un quesito da proporre nell'ambito del calcolo delle variazioni.
Se la funzione integranda all'interno di un funzionale di tipo integrale ha una struttura del tipo F(x,y) (cioè non dipende esplicitamente da y'), che tipo di caratteristiche ha la soluzione della relativa equazione di Eulero?
[mod="Steven"]Ho spostato nella sezione più idonea di Analisi[/mod]
Se la funzione integranda all'interno di un funzionale di tipo integrale ha una struttura del tipo F(x,y) (cioè non dipende esplicitamente da y'), che tipo di caratteristiche ha la soluzione della relativa equazione di Eulero?
[mod="Steven"]Ho spostato nella sezione più idonea di Analisi[/mod]
Risposte
Insomma hai un funzionale del tipo [tex]$\mathcal{I}[y]:=\int_a^b F(x,y(x))\ \text{d} x$[/tex] con [tex]$[a,b]\times \mathbb{R} \ni (x,y) \mapsto F(x,y) \in \mathbb{R}$[/tex] abbastanza regolare (per semplificare il discorso, diciamo [tex]$F$[/tex] di classe [tex]$C^2$[/tex]).
Non capisco però se vuoi sapere com'è fatta l'equazione di E-L oppure come sono fatte le soluzioni.
Ad ogni modo, per un funzionale generale del tipo [tex]$\int_a^b G(x,y(x),y^\prime (x))\ \text{d} x$[/tex], con integrando [tex]$[a,b]\times \mathbb{R}^2 \ni (x,y,v)\mapsto G(x,y,v)\in \mathbb{R}$[/tex] abbastanza regolare, l'equazione di E-L è:
[tex]$\frac{\partial G}{\partial y} (x,y(x),y^\prime (x)) = \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \frac{\partial G}{\partial v} (x,y(x),y^\prime (x))\right]$[/tex];
per ricavarla devi: 1) derivare parzialmente [tex]$G(x,y,v)$[/tex] rispetto a [tex]$y$[/tex] ed a [tex]$v$[/tex]; 2) sostituire [tex]$y=y(x), v=y^\prime (x)$[/tex] in [tex]$\tfrac{\partial G}{\partial y},\ \tfrac{\partial G}{\partial v}$[/tex]; 3) derivare la funzione composta [tex]$\tfrac{\partial G}{\partial v} (x,y(x),y^\prime (x))$[/tex] rispetto a [tex]$x$[/tex].
Ora, nel tuo caso è [tex]$G(x,y,v)=F(x,y)$[/tex] quindi risulta [tex]$\tfrac{\partial G}{\partial y} =\tfrac{\partial F}{\partial y} ,\ \tfrac{\partial G}{\partial v} =0$[/tex] (infatti [tex]$F$[/tex] non dipende da [tex]$v$[/tex]) e perciò l'equazione di E-L si scrive:
[tex]$\frac{\partial F}{\partial y} (x,y(x)) =0$[/tex].
Essa è un'equazione in [tex]$x$[/tex] ed [tex]$y(x)$[/tex] e non è una EDO perchè non compare esplicitamente alcuna derivata di [tex]$y(x)$[/tex]; da tale equazione (con un po' di pazienza) puoi cercare di ricavare gli estremanti [tex]$y(x)$[/tex], casomai cercando di usare qualche teorema sulle funzioni implicite.
In generale non è che si può dire molto di più...
Prova a postare un esempio di funzionale da cui esce fuori questa roba, forse ne facciamo uscire qualcosa di più utile.
Non capisco però se vuoi sapere com'è fatta l'equazione di E-L oppure come sono fatte le soluzioni.
Ad ogni modo, per un funzionale generale del tipo [tex]$\int_a^b G(x,y(x),y^\prime (x))\ \text{d} x$[/tex], con integrando [tex]$[a,b]\times \mathbb{R}^2 \ni (x,y,v)\mapsto G(x,y,v)\in \mathbb{R}$[/tex] abbastanza regolare, l'equazione di E-L è:
[tex]$\frac{\partial G}{\partial y} (x,y(x),y^\prime (x)) = \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \frac{\partial G}{\partial v} (x,y(x),y^\prime (x))\right]$[/tex];
per ricavarla devi: 1) derivare parzialmente [tex]$G(x,y,v)$[/tex] rispetto a [tex]$y$[/tex] ed a [tex]$v$[/tex]; 2) sostituire [tex]$y=y(x), v=y^\prime (x)$[/tex] in [tex]$\tfrac{\partial G}{\partial y},\ \tfrac{\partial G}{\partial v}$[/tex]; 3) derivare la funzione composta [tex]$\tfrac{\partial G}{\partial v} (x,y(x),y^\prime (x))$[/tex] rispetto a [tex]$x$[/tex].
Ora, nel tuo caso è [tex]$G(x,y,v)=F(x,y)$[/tex] quindi risulta [tex]$\tfrac{\partial G}{\partial y} =\tfrac{\partial F}{\partial y} ,\ \tfrac{\partial G}{\partial v} =0$[/tex] (infatti [tex]$F$[/tex] non dipende da [tex]$v$[/tex]) e perciò l'equazione di E-L si scrive:
[tex]$\frac{\partial F}{\partial y} (x,y(x)) =0$[/tex].
Essa è un'equazione in [tex]$x$[/tex] ed [tex]$y(x)$[/tex] e non è una EDO perchè non compare esplicitamente alcuna derivata di [tex]$y(x)$[/tex]; da tale equazione (con un po' di pazienza) puoi cercare di ricavare gli estremanti [tex]$y(x)$[/tex], casomai cercando di usare qualche teorema sulle funzioni implicite.
In generale non è che si può dire molto di più...
Prova a postare un esempio di funzionale da cui esce fuori questa roba, forse ne facciamo uscire qualcosa di più utile.
@gugo82
Ti ringrazio innanzitutto per la risposta rapidissima!
Hai centrato pienamente il problema. Ossia, visto che l'equazione di Eulero-Lagrange si riduce ad una equazione algebrica (in pratica una definizione implicita delle curve estremali) che considerazioni si possono fare su tali curve in questo caso rispetto al caso generale? Si tratta di un quesito puramente teorico e non ho un esempio pratico da sottoporre. Mi rendo conto che la domanda può sembrare piuttosto vaga...
Ti ringrazio ancora per l'aiuto!!
Ti ringrazio innanzitutto per la risposta rapidissima!
Hai centrato pienamente il problema. Ossia, visto che l'equazione di Eulero-Lagrange si riduce ad una equazione algebrica (in pratica una definizione implicita delle curve estremali) che considerazioni si possono fare su tali curve in questo caso rispetto al caso generale? Si tratta di un quesito puramente teorico e non ho un esempio pratico da sottoporre. Mi rendo conto che la domanda può sembrare piuttosto vaga...
Ti ringrazio ancora per l'aiuto!!
Beh in generale non puoi dire nulla.
Infatti anche se sono verificate le ipotesi del teorema del Dini, tutto ciò in cui puoi sperare è che localmente tu possa definire una funzione [tex]$y(x)$[/tex] che risolve la E-L; però di solito quella è una soluzione prettamente locale, nel senso che in generale non è detto che la [tex]$y(x)$[/tex] risulti definita su tutto l'intervallo base [tex]$[a,b]$[/tex], ma solo in un sottointervallo [tex]$[\alpha ,\beta]\subset [a,b]$[/tex].
E poi, non è nemmeno detto che alla E-L sia applicabile il teorema del Dini: ad esempio, prendi [tex]$\mathcal{I}[y]:=\int_1^2 x\ e^{y(x)}\ \text{d}x$[/tex], che fornisce [tex]$x\ e^{y(x)}=0$[/tex] come equazione di E-L; in tal caso, visto che [tex]$x>0$[/tex] ed [tex]$e^{y(x)}>0$[/tex] non è applicabile il teorema del Dini...
Però in questo caso si può vedere "a mano" che non esistono minimi per [tex]$\mathcal{I}[\cdot]$[/tex] in [tex]$Y:=\{ y\in C([1,2]):\ y(1)=0=y(2)\}$[/tex]; basta solo fare due conticini.
Infatti si ha certamente [tex]$0< \mathcal{I}[y]$[/tex], quindi [tex]$0\leq \inf_{y\in Y} \mathcal{I}[y]$[/tex]; d'altra parte hai:
[tex]$\int_1^2 x\ e^{y(x)}\ \text{d}x \leq \left( \sup_{x\in [1,2]} x\right) \cdot \int_1^2 e^{y(x)}\ \text{d}x =2\ \int_1^2 e^{y(x)}\ \text{d}x$[/tex]
ed intuitivamente è evidente che, prendendo [tex]$y(x)$[/tex] "molto negativa" in una parte "abbastanza grande" dell'intervallo [tex]$]1,2[$[/tex], puoi rendere l'integrale [tex]$\int_1^2 e^{y(x)}\ \text{d}x$[/tex] "piccolo a piacere".
Per dimostrare questo fatto puoi prendere la successione di funzioni definite ponendo:
[tex]$y_n(x):=\begin{cases} -2n\ x+2n &\text{, se $1\leq x\leq \tfrac{3}{2}$} \\ 2n\ x-4n &\text{, se $\tfrac{3}{2} \leq x\leq 2$} \end{cases}$[/tex]
i cui grafici sono triangoli isosceli di base [tex]$[1,2]$[/tex] ed altezza [tex]$n$[/tex] rivolti nel semipiano delle [tex]$y$[/tex] negative.
In figura sono tracciati in giallo, arancione e rosso i grafici di [tex]$y_2(x)$[/tex], [tex]$y_3(x)$[/tex] ed [tex]$y_5(x)$[/tex] ed in azzurro, blu e viola i grafici di [tex]$e^{y_2(x)}$[/tex], [tex]$e^{y_3(x)}$[/tex] ed [tex]$e^{y_5(x)}$[/tex]:
[asvg]xmin=0;xmax=3;ymin=-5;ymax=1;
axes("","");
stroke="yellow";
plot("-4*x+4",1,1.5); plot("4*x-8",1.5,2);
stroke="orange";
plot("-6*x+6",1,1.5); plot("6*x-12",1.5,2);
stroke="red";
plot("-10*x+10",1,1.5); plot("10*x-20",1.5,2);
stroke="cyan";
plot("exp(-4*x+4)",1,1.5); plot("exp(4*x-8)",1.5,2);
stroke="blue";
plot("exp(-6*x+6)",1,1.5); plot("exp(6*x-12)",1.5,2);
stroke="purple";
plot("exp(-10*x+10)",1,1.5); plot("exp(10*x-20)",1.5,2);[/asvg]
Tali funzioni verificano le condizioni agli estremi e sono continue, quindi [tex]$y_n\in Y$[/tex]; inoltre già graficamente si vede che [tex]$\int_1^2 e^{y_n(x)}\ \text{d} x \to 0$[/tex] per [tex]$n\to +\infty$[/tex]: questo si può provare con un semplice calcolo:
[tex]$\int_1^2 e^{y_n(x)}\ \text{d} x =e^{2n}\ \int_1^{\tfrac{3}{2}} e^{-2n\ x}\ \text{d} x\ +\ e^{-4n}\ \int_{\tfrac{3}{2}}^2 e^{2n\ x}\ \text{d} x =2\ e^{2n}\ \int_1^{\tfrac{3}{2}} e^{-2n\ x}\ \text{d} x =\frac{1-e^{-n}}{n}$[/tex],
quindi [tex]$\lim_n \int_1^2 e^{y_n(x)}\ \text{d} x = \lim_n \frac{1-e^{-n}}{n} =0$[/tex]. Ne consegue:
[tex]$0< \mathcal{I}[y_n]\leq \frac{1-e^{-n}}{n} \quad \Rightarrow \quad 0\leq \lim_n \mathcal{I}[y_n]\leq \lim_n \frac{1-e^{-n}}{n} =0$[/tex]
e perciò [tex]$0=\inf_{y\in Y} \mathcal{I}[y]$[/tex].
Se, per assurdo, esistesse un minimo [tex]$\overline{y} (x)\in Y$[/tex] per [tex]$\mathcal{I}[\cdot]$[/tex], allora dovrebbe aversi necessariamente [tex]$\mathcal{I}[\overline{y} ]=0$[/tex]; ma ciò è impossibile giacché [tex]$\mathcal{I}[\cdot ]>0$[/tex] in [tex]$Y$[/tex]. Ergo [tex]$\mathcal{I}[\cdot]$[/tex] non ha minimo in [tex]$Y$[/tex].
Quindi quando hai integrandi che non dipendono da [tex]$y^\prime$[/tex] e vedi che l'equazione di E-L non ti è d'aiuto, devi necessariamente provare a fare i conti a mano.
Infatti anche se sono verificate le ipotesi del teorema del Dini, tutto ciò in cui puoi sperare è che localmente tu possa definire una funzione [tex]$y(x)$[/tex] che risolve la E-L; però di solito quella è una soluzione prettamente locale, nel senso che in generale non è detto che la [tex]$y(x)$[/tex] risulti definita su tutto l'intervallo base [tex]$[a,b]$[/tex], ma solo in un sottointervallo [tex]$[\alpha ,\beta]\subset [a,b]$[/tex].
E poi, non è nemmeno detto che alla E-L sia applicabile il teorema del Dini: ad esempio, prendi [tex]$\mathcal{I}[y]:=\int_1^2 x\ e^{y(x)}\ \text{d}x$[/tex], che fornisce [tex]$x\ e^{y(x)}=0$[/tex] come equazione di E-L; in tal caso, visto che [tex]$x>0$[/tex] ed [tex]$e^{y(x)}>0$[/tex] non è applicabile il teorema del Dini...
Però in questo caso si può vedere "a mano" che non esistono minimi per [tex]$\mathcal{I}[\cdot]$[/tex] in [tex]$Y:=\{ y\in C([1,2]):\ y(1)=0=y(2)\}$[/tex]; basta solo fare due conticini.
Infatti si ha certamente [tex]$0< \mathcal{I}[y]$[/tex], quindi [tex]$0\leq \inf_{y\in Y} \mathcal{I}[y]$[/tex]; d'altra parte hai:
[tex]$\int_1^2 x\ e^{y(x)}\ \text{d}x \leq \left( \sup_{x\in [1,2]} x\right) \cdot \int_1^2 e^{y(x)}\ \text{d}x =2\ \int_1^2 e^{y(x)}\ \text{d}x$[/tex]
ed intuitivamente è evidente che, prendendo [tex]$y(x)$[/tex] "molto negativa" in una parte "abbastanza grande" dell'intervallo [tex]$]1,2[$[/tex], puoi rendere l'integrale [tex]$\int_1^2 e^{y(x)}\ \text{d}x$[/tex] "piccolo a piacere".
Per dimostrare questo fatto puoi prendere la successione di funzioni definite ponendo:
[tex]$y_n(x):=\begin{cases} -2n\ x+2n &\text{, se $1\leq x\leq \tfrac{3}{2}$} \\ 2n\ x-4n &\text{, se $\tfrac{3}{2} \leq x\leq 2$} \end{cases}$[/tex]
i cui grafici sono triangoli isosceli di base [tex]$[1,2]$[/tex] ed altezza [tex]$n$[/tex] rivolti nel semipiano delle [tex]$y$[/tex] negative.
In figura sono tracciati in giallo, arancione e rosso i grafici di [tex]$y_2(x)$[/tex], [tex]$y_3(x)$[/tex] ed [tex]$y_5(x)$[/tex] ed in azzurro, blu e viola i grafici di [tex]$e^{y_2(x)}$[/tex], [tex]$e^{y_3(x)}$[/tex] ed [tex]$e^{y_5(x)}$[/tex]:
[asvg]xmin=0;xmax=3;ymin=-5;ymax=1;
axes("","");
stroke="yellow";
plot("-4*x+4",1,1.5); plot("4*x-8",1.5,2);
stroke="orange";
plot("-6*x+6",1,1.5); plot("6*x-12",1.5,2);
stroke="red";
plot("-10*x+10",1,1.5); plot("10*x-20",1.5,2);
stroke="cyan";
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stroke="blue";
plot("exp(-6*x+6)",1,1.5); plot("exp(6*x-12)",1.5,2);
stroke="purple";
plot("exp(-10*x+10)",1,1.5); plot("exp(10*x-20)",1.5,2);[/asvg]
Tali funzioni verificano le condizioni agli estremi e sono continue, quindi [tex]$y_n\in Y$[/tex]; inoltre già graficamente si vede che [tex]$\int_1^2 e^{y_n(x)}\ \text{d} x \to 0$[/tex] per [tex]$n\to +\infty$[/tex]: questo si può provare con un semplice calcolo:
[tex]$\int_1^2 e^{y_n(x)}\ \text{d} x =e^{2n}\ \int_1^{\tfrac{3}{2}} e^{-2n\ x}\ \text{d} x\ +\ e^{-4n}\ \int_{\tfrac{3}{2}}^2 e^{2n\ x}\ \text{d} x =2\ e^{2n}\ \int_1^{\tfrac{3}{2}} e^{-2n\ x}\ \text{d} x =\frac{1-e^{-n}}{n}$[/tex],
quindi [tex]$\lim_n \int_1^2 e^{y_n(x)}\ \text{d} x = \lim_n \frac{1-e^{-n}}{n} =0$[/tex]. Ne consegue:
[tex]$0< \mathcal{I}[y_n]\leq \frac{1-e^{-n}}{n} \quad \Rightarrow \quad 0\leq \lim_n \mathcal{I}[y_n]\leq \lim_n \frac{1-e^{-n}}{n} =0$[/tex]
e perciò [tex]$0=\inf_{y\in Y} \mathcal{I}[y]$[/tex].
Se, per assurdo, esistesse un minimo [tex]$\overline{y} (x)\in Y$[/tex] per [tex]$\mathcal{I}[\cdot]$[/tex], allora dovrebbe aversi necessariamente [tex]$\mathcal{I}[\overline{y} ]=0$[/tex]; ma ciò è impossibile giacché [tex]$\mathcal{I}[\cdot ]>0$[/tex] in [tex]$Y$[/tex]. Ergo [tex]$\mathcal{I}[\cdot]$[/tex] non ha minimo in [tex]$Y$[/tex].
Quindi quando hai integrandi che non dipendono da [tex]$y^\prime$[/tex] e vedi che l'equazione di E-L non ti è d'aiuto, devi necessariamente provare a fare i conti a mano.
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