Caso particolare del teorema di Weierstrass
So che, per il teorema di Weierstrass, dato un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$, posso dire che esistono massimi e minimi ed esistono in quell'intervallo. Ora, ho un dubbio su un caso particolare: ho una funzione definita in $[a, +oo[$, posso dire che ammette minimo assoluto ed è limitata inferiormente? Anche se non per il teorema di Weierstrass, ma per implicazione logica posso dirlo. No?
Risposte
Ma anche no; Weierstrass funziona solo per funzioni continue su compatti. Prendi
\[
f \colon [0,+\infty) \ni x \mapsto -x^2 \in \mathbb R
\]
\[
f \colon [0,+\infty) \ni x \mapsto -x^2 \in \mathbb R
\]
La risposta di Paolo è corretta.
Tuttavia si può assucurare l'esistenza di minimo o di massimo o di entrambi anche in casi di intervalli non compatti.
Ad esempio, prendiamo una funzione \(f:[a,+\infty[\to \mathbb{R}\) e supponiamo che si abbia \(\lim_{x\to +\infty} f(x)=0\): in tal caso \(f\) è dotata o di minimo assoluto o di massimo assoluto (o anche di entrambi).
Ovviamente la cosa si può generalizzare e si può enunciare il seguente teoremino:
Lo stesso vale per funzioni definite in intervalli non limitati del tipo \(]-\infty ,a]\), ivi continue, le quali abbiano limite in \(-\infty\).
Tuttavia si può assucurare l'esistenza di minimo o di massimo o di entrambi anche in casi di intervalli non compatti.
Ad esempio, prendiamo una funzione \(f:[a,+\infty[\to \mathbb{R}\) e supponiamo che si abbia \(\lim_{x\to +\infty} f(x)=0\): in tal caso \(f\) è dotata o di minimo assoluto o di massimo assoluto (o anche di entrambi).
Ovviamente la cosa si può generalizzare e si può enunciare il seguente teoremino:
Sia \(f:[a,+\infty[\to \mathbb{R}\) continua e tale che che \(\lim_{x\to +\infty} f(x)=l\).
Se esiste \(x_1\geq a\) tale che \(f(x_1)> l\), allora \(f\) è dotata di massimo assoluto in \([a,\infty[\) (in particolare, ciò accade sempre se \(l=-\infty\)).
Se, invece, esiste \(x_2\geq a\) tale che \(f(x_2)Se si verificano entrambe le eventualità, la \(f\) è dotata di entrambi massimo e minimo assoluti in \([a,\infty[\).
Lo stesso vale per funzioni definite in intervalli non limitati del tipo \(]-\infty ,a]\), ivi continue, le quali abbiano limite in \(-\infty\).
Innanzitutto grazie mille per tutto il post, molto esplicativo.
Dimmi un po' se ho ben capito: ho $x in [a, +oo[$.
Affinchè la funzione sia superiormente limitata ed accetti un massimo assoluto, $lim_{x->+oo} f(x) = l$.
Affinchè la funzione sia inferiormente limitata ed accetti un minimo assoluto, $lim_{x->a} f(x) = l_2$.
Dal momento in cui $a$ appartiene all'intervallo e quindi alla funzione, so che esiste quel $l_2$ e so anche che $a$ sarà un valore da considerare come potenziale minimo/massimo assoluto della funzione.
Nel caso in cui, invece, la funzione contiene dei punti di discontinuità, bisogna studiare il limite in quei punti ( ovviamente destro o sinistro, ovvero nella parte vicina a quel punto in cui esiste ancora la funzione ) e devono convergere anch'essi affinchè ammetta massimi/minimi assoluti e sia limitata.
Tutto giusto?
Dimmi un po' se ho ben capito: ho $x in [a, +oo[$.
Affinchè la funzione sia superiormente limitata ed accetti un massimo assoluto, $lim_{x->+oo} f(x) = l$.
Affinchè la funzione sia inferiormente limitata ed accetti un minimo assoluto, $lim_{x->a} f(x) = l_2$.
Dal momento in cui $a$ appartiene all'intervallo e quindi alla funzione, so che esiste quel $l_2$ e so anche che $a$ sarà un valore da considerare come potenziale minimo/massimo assoluto della funzione.
Nel caso in cui, invece, la funzione contiene dei punti di discontinuità, bisogna studiare il limite in quei punti ( ovviamente destro o sinistro, ovvero nella parte vicina a quel punto in cui esiste ancora la funzione ) e devono convergere anch'essi affinchè ammetta massimi/minimi assoluti e sia limitata.
Tutto giusto?
No, non è tutto giusto; anzi, pare che tu non abbia nemmeno letto il mio post, dato che le funzioni discontinue non le ho nominate da nessuna parte, né ho mai scritto \(\lim_{x\to a} f(x)\).
Prova a spiegarti meglio.
Prova a spiegarti meglio.
Sì lo so che non lo hai scritto nel tuo post, la mia era una domanda aggiuntiva.
Ti chiedevo solo come posso determinare la limitatezza in funzioni che contengono punti di discontinuità.
Ovvero $f(x)$ con $x in ]-oo, a[ uu ]a, +oo[$
In più, riguardo il tuo post nell'ultimo riquadro. Quando scrivi sul minimo assoluto, dell'esistenza di un $x_2 > a$ eccetera, l'esistenza di questo valore e quindi l'esistenza di un minimo assoluto, la calcolo con il limite di $x->a$ ?
Ti chiedevo solo come posso determinare la limitatezza in funzioni che contengono punti di discontinuità.
Ovvero $f(x)$ con $x in ]-oo, a[ uu ]a, +oo[$
In più, riguardo il tuo post nell'ultimo riquadro. Quando scrivi sul minimo assoluto, dell'esistenza di un $x_2 > a$ eccetera, l'esistenza di questo valore e quindi l'esistenza di un minimo assoluto, la calcolo con il limite di $x->a$ ?