Caso particolare del teorema di Weierstrass

[Mr.Mazzarr]

So che, per il teorema di Weierstrass, dato un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$, posso dire che esistono massimi e minimi ed esistono in quell'intervallo. Ora, ho un dubbio su un caso particolare: ho una funzione definita in $[a, +oo[$, posso dire che ammette minimo assoluto ed è limitata inferiormente? Anche se non per il teorema di Weierstrass, ma per implicazione logica posso dirlo. No?

[Paolo902]

Ma anche no; Weierstrass funziona solo per funzioni continue su compatti. Prendi
\[
f \colon [0,+\infty) \ni x \mapsto -x^2 \in \mathbb R
\]

[gugo82]

La risposta di Paolo è corretta.

Tuttavia si può assucurare l'esistenza di minimo o di massimo o di entrambi anche in casi di intervalli non compatti.

Ad esempio, prendiamo una funzione \(f:[a,+\infty[\to \mathbb{R}\) e supponiamo che si abbia \(\lim_{x\to +\infty} f(x)=0\): in tal caso \(f\) è dotata o di minimo assoluto o di massimo assoluto (o anche di entrambi).

Dim.: Se \(f(x)=0\) ovunque, vabbé, l'asserto è banale.
Se \(f(x)\) non è identicamente nulla, allora o esiste un \(x_1\geq a\) tale che \(f(x_1)>0\) oppure esiste \(x_2\geq a\) tale che \(f(x_2)<0\) (o esistono entrambi, perché la disgiunzione non è esclusiva).

Supponiamo, per fissare le idee, che esista \(x_1\). Allora, preso \(\varepsilon =\frac{1}{2} f(x_1)>0\), per la definizione di limite esiste un \(\delta>0\) tale che:
\[
\forall x\geq \delta,\quad -\frac{1}{2} f(x_1) \]
ed in particolare si ha \(\delta >x_1\) (perché \(f(x_1)>\frac{1}{2} f(x_1)\), quindi \(x_1\) non può essere maggiore di \(\delta\)); il Teorema di Weierstrass assicura che nel compatto \([a,\delta]\) la \(f\) è dotata di massimo assoluto assunto in un punto \(x_0\); il fatto che \(x_1\in [a,\delta]\) assicura che:
\[
\max_{[a,\delta]} f=f(x_0)\geq f(x_1)
\]
e ciò, a sua volta, implica che:
\[
\forall x>\delta,\quad f(x_0)>\frac{1}{2} f(x_1)>f(x)\; .
\]
Quindi si ha \(f(x_0)\geq f(x)\) per ogni \(x\in [a,\delta]\cup]\delta,\infty[=[a,\infty[\) e ciò equivale a dire che \(x_0\) è un punto di massimo assoluto per \(f\) in tutto \([a,\infty[\).

Analogamente, il caso in cui esista \(x_2\) si conclude che \(f\) è dotata di minimo assoluto in \([a,\infty[\) (si prende \(\varepsilon =-\frac{1}{2} f(x_2)\) nella definizione di limite).

Se esistono entrambi i punti \(x_1,x_2\), si conclude che \(f\) ha sia massimo che minimo assoluti in \([a,\infty[\). \(\square\)

Ovviamente la cosa si può generalizzare e si può enunciare il seguente teoremino:

Sia \(f:[a,+\infty[\to \mathbb{R}\) continua e tale che che \(\lim_{x\to +\infty} f(x)=l\).
Se esiste \(x_1\geq a\) tale che \(f(x_1)> l\), allora \(f\) è dotata di massimo assoluto in \([a,\infty[\) (in particolare, ciò accade sempre se \(l=-\infty\)).
Se, invece, esiste \(x_2\geq a\) tale che \(f(x_2) Se si verificano entrambe le eventualità, la \(f\) è dotata di entrambi massimo e minimo assoluti in \([a,\infty[\).

Lo stesso vale per funzioni definite in intervalli non limitati del tipo \(]-\infty ,a]\), ivi continue, le quali abbiano limite in \(-\infty\).

[Mr.Mazzarr]

Innanzitutto grazie mille per tutto il post, molto esplicativo.
Dimmi un po' se ho ben capito: ho $x in [a, +oo[$.

Affinchè la funzione sia superiormente limitata ed accetti un massimo assoluto, $lim_{x->+oo} f(x) = l$.
Affinchè la funzione sia inferiormente limitata ed accetti un minimo assoluto, $lim_{x->a} f(x) = l_2$.

Dal momento in cui $a$ appartiene all'intervallo e quindi alla funzione, so che esiste quel $l_2$ e so anche che $a$ sarà un valore da considerare come potenziale minimo/massimo assoluto della funzione.

Nel caso in cui, invece, la funzione contiene dei punti di discontinuità, bisogna studiare il limite in quei punti ( ovviamente destro o sinistro, ovvero nella parte vicina a quel punto in cui esiste ancora la funzione ) e devono convergere anch'essi affinchè ammetta massimi/minimi assoluti e sia limitata.

Tutto giusto?

[gugo82]

No, non è tutto giusto; anzi, pare che tu non abbia nemmeno letto il mio post, dato che le funzioni discontinue non le ho nominate da nessuna parte, né ho mai scritto \(\lim_{x\to a} f(x)\).

Prova a spiegarti meglio.

[Mr.Mazzarr]

Sì lo so che non lo hai scritto nel tuo post, la mia era una domanda aggiuntiva.

Ti chiedevo solo come posso determinare la limitatezza in funzioni che contengono punti di discontinuità.
Ovvero $f(x)$ con $x in ]-oo, a[ uu ]a, +oo[$

In più, riguardo il tuo post nell'ultimo riquadro. Quando scrivi sul minimo assoluto, dell'esistenza di un $x_2 > a$ eccetera, l'esistenza di questo valore e quindi l'esistenza di un minimo assoluto, la calcolo con il limite di $x->a$ ?