Caso dubbio Matrice Hessiana
Buongiorno a tutti, oggi mi sn imbattuta in un esercizio in cui devo determinare massimi e minimi relativi della funzione $ f(x,y)=(x-1)^3(3(x-1)^2-5)+(y+2)^2 $
trovate le derivate parziali prime e seconde
$ f'_x=15(x-1)^2(x-2)x $
$ f'_y=2(y+2) $
$ f ''_x= -30x^2(x-1) $
$ f''_y= 2 $
$ f''_xy= 0 $
ho determinato i punti critici ponendo le derivate parziali prime uguali a zero ho trovato A(1,-2) B(2,-2) C(0-2)
E ho costruito la matrice Hessania per ogni punto, ma nel caso del punto A e del punto C ho un caso dubbio.
Ho letto varie discussioni ma non riesco a venirne a capo, qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi come devo procedere nella ricerca dei minimi e massimi in questo caso?
trovate le derivate parziali prime e seconde
$ f'_x=15(x-1)^2(x-2)x $
$ f'_y=2(y+2) $
$ f ''_x= -30x^2(x-1) $
$ f''_y= 2 $
$ f''_xy= 0 $
ho determinato i punti critici ponendo le derivate parziali prime uguali a zero ho trovato A(1,-2) B(2,-2) C(0-2)
E ho costruito la matrice Hessania per ogni punto, ma nel caso del punto A e del punto C ho un caso dubbio.
Ho letto varie discussioni ma non riesco a venirne a capo, qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi come devo procedere nella ricerca dei minimi e massimi in questo caso?
Risposte
"criscampo22":
E ho costruito la matrice Hessania per ogni punto, ma nel caso del punto A e del punto C ho un caso dubbio.
Ho letto varie discussioni ma non riesco a venirne a capo, qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi come devo procedere nella ricerca dei minimi e massimi in questo caso?
Che problema riscontri? Se non erro nel punto $C(0,-2)$ dovrebbe uscire:
\[\mathbf{H}_f(0,-2) = \left( \begin{matrix} -30 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \]
Ti torna?
EDIT: Forse ho capito il problema. Non sai che fare quando la forma quadratica è indefinita ($|A| < 0$)?
nel punto C l'hessiana diventa $ ( ( 0 , 0 ),( 0 , 2 ) ) $ dovendo dare ad x^2 valore 0
e lo stesso problema ce l ho nel punto A
e lo stesso problema ce l ho nel punto A
A me (non a me direttamente ma a Stephen Wolfram 
) esce così:
\[\partial^2_{xx}f(x,y) = 30 (-1 + 5 x - 6 x^2 + 2 x^3)\]
) esce così:\[\partial^2_{xx}f(x,y) = 30 (-1 + 5 x - 6 x^2 + 2 x^3)\]
ho sbagliato a scrivere la funzione la prima parentesi è elevata alla 3
la prima parentesi è elevata alla 3
ah nn avevo sbagliato, ora ho visto meglio..ora ricontrollo la derivata seconda..
non mi sto tovando cn le derivate ma mi fido..in ogni caso come continuo nella discussione del caso dubbio?
Ho provato a calcolare la derivata in questione a penna ma, come volevasi dimostrare mi è uscita una terza versione che non coincide né con quella fornita da Mathematica né con la tua. Ho fatto i conti di fretta e sicuramente avrò commesso errori nel mentre.
Tornando al problema, chiarisci cosa intendi con "caso di dubbio"
Intendi quando la forma quadratica è indefinita? O quando il determinante è nullo?
Tornando al problema, chiarisci cosa intendi con "caso di dubbio"
Intendi quando la forma quadratica è indefinita? O quando il determinante è nullo?
quando il determinante è nullo
Se il determinante è nullo non si può dire granché. Si potrebbe passare al differenziale di ordine 3, ma non è molto umano 
Un metodo banale ma che può risultare efficace è quello di calcolare il segno di $f(x+h)-f(x)$ nell'intorno del punto incriminato e vedere che succede.
Di più non si può fare
Un metodo banale ma che può risultare efficace è quello di calcolare il segno di $f(x+h)-f(x)$ nell'intorno del punto incriminato e vedere che succede.
Di più non si può fare
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