Casi d'applicazione di De L'Hopital

[Mr.Mazzarr]

Ragazzi, Wolfram Alpha mi ha fatto salire un dubbio enorme.

Nella risoluzione del limite:

$\lim_{n \to \-infty} |x-2|*e^x$

Usa De L'Hopital. Ma De L'Hopital non si può usare nei casi di forma indeterminata $0/0$ o $(+oo)/(+oo)$ ?
Qui lo usa ma non in un caso di rapporto, ma di moltiplicazione.

[Rigel1]

La regola di de l'Hopital si può usare nei casi \(0/0\) oppure \(\text{(qualsiasi cosa)} / \infty\), posto ovviamente che siano verificate tutte le altre ipotesi.
Nel tuo caso basta scrivere il limite come
\[
\lim_{x\to -\infty} \frac{|x-2|}{e^{-x}}
\]
dove numeratore e denominatore divergono entrambi a \(+\infty\).

[Camillo]

Considerando che li limite è per $x rarr -oo $ sciogliendo il valore assoluto si ottiene $|x-2|=-x+2 $
$ lim_( x rarr -oo) (-x+2)*e^x = lim_(x rarr -oo) (-x+2)/e^(-x) =[ oo/oo] $ ed eccoci riportati alla tipologia $oo/oo $ e quindi De l'Hopital si può usare tranquillamente.

[Mr.Mazzarr]

Ah ecco, quindi c'è stata una trasformazione affinchè si costruisca la condizione necessaria per l'uso di De L'Hopital. Grazie!

[Brancaleone1]

"Rigel":La regola di de l'Hopital si può usare nei casi [...] \(\text{(qualsiasi cosa)} / \infty\), posto ovviamente che siano verificate tutte le altre ipotesi.

Davvero? Credevo che Hopital si potesse impiegare solo nei casi $0/0$ e $(pmoo)/(pmoo)$

[Rigel1]

Davvero. Basta fare la dimostrazione (o, in caso di un attacco di pigrizia, consultare il Rudin, "Principles...", Thm. 5.13).

[Mr.Mazzarr]

Rigel quali sono '' tutte le altre ipotesi '' ??

[Rigel1]

\(f\) e \(g\) devono essere derivabili, \(g'\) deve essere diversa da \(0\) e deve esistere \(\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}\).

[Mr.Mazzarr]

Ah ok pensavo ci fossero altre condizioni che non sapevo. Bene, grazie ragazzi.