Carettere della serie
qualcuno mi può far capire come si risolve il seguente esercizio? qual è il criterio da utilizzare? grazie
$sum_{n=1}^{oo} (3^(n) -e^(n))^(2) (1-cos 5^(-n))=>$
$sum_{n=1}^{oo} (3^(n) -e^(n))^(2) (1-cos 5^(-n))=>$
Risposte
La serie non converge perchè $lim_(n->+infty)(3^n-e^n)^2(1-cos5^(-n))=+infty$.
come risolvi la forma indeterminata $oo-oo$?
$lim_(n->+oo)(3^n-e^n)^2(1-cos5^-n)=(+oo-oo)(0)$
grazie
$lim_(n->+oo)(3^n-e^n)^2(1-cos5^-n)=(+oo-oo)(0)$
grazie
Ho sbagliato tutto, il limite fa zero.
Più tardi cerco di rimediare.
Più tardi cerco di rimediare.
"deioo":
qualcuno mi può far capire come si risolve il seguente esercizio? qual è il criterio da utilizzare? grazie
$sum_{n=1}^{oo} (3^(n) -e^(n))^(2) (1-cos 5^(-n))=>$
A me viene una cosa del genere:
Innanzitutto ho provato a scomporla
$sum_{n=1}^{oo} 3^n(1 - (e/3))^n)^(2) 1-cos 1/5^n$
Adesso ho visto che $(1-cos 1/5^n)$ è un infinitesimo, e dato che $(1-cos(x))/x^2 = 1/2$
mi sono riscritto la formula
$lim_{n->oo} 3^(2n) *(1 - (e/3)^n)^(2)*(1-cos (1/5^n))/(1/5^(2n))*(1/5^(2n))$
e quindi ho che
$lim_{x->oo} 1/2*3^(2n)/5^(2n)*(1 - (e/3)^n)^2$
dato che $e/3<0 $ so che $(e/3)^n=>0$ per $n->oo$
Quindi $(1 - (e/3)^n)^2 => 1$
Il mio limite adesso è $lim_{x->oo} 1/2 3^(2n)/5^(2n)$
e dato che $3/5< 0$ il limite tende a $0$
Come ha scritto Spire la successione può essere riscritta come
$a_n=3^(2n)(1-(e/3)^n)^2(1-cos(1/5^n))/(1/5^(2n))1/5^(2n)=3^(2n)/(5^(2n))(1-(e/3)^n)^2(1-cos(1/5^n))/(1/5^(2n))$.
Applicando il criterio della radice si ha:
$(a_n)^(1/n)->3^2/5^2<1=>$ la serie converge.
Infatti $(3^(2n)/(5^(2n)))^(1/n)=3^2/5^2$,
$((1-(e/3)^n)^2)^(1/n)->1^0=1$,
$((1-cos(1/5^n))/(1/5^(2n)))^(1/n)->(1/2)^0=1$.
Adesso non ci dovrebbero essere errori.
$a_n=3^(2n)(1-(e/3)^n)^2(1-cos(1/5^n))/(1/5^(2n))1/5^(2n)=3^(2n)/(5^(2n))(1-(e/3)^n)^2(1-cos(1/5^n))/(1/5^(2n))$.
Applicando il criterio della radice si ha:
$(a_n)^(1/n)->3^2/5^2<1=>$ la serie converge.
Infatti $(3^(2n)/(5^(2n)))^(1/n)=3^2/5^2$,
$((1-(e/3)^n)^2)^(1/n)->1^0=1$,
$((1-cos(1/5^n))/(1/5^(2n)))^(1/n)->(1/2)^0=1$.
Adesso non ci dovrebbero essere errori.
Basta che applichi il criterio della radice. Il limite dovrebbe venire $9/25$ quindi converge.
grazie per l'esercizio precedente.qualcuno può aiutarmi a svolgere quest'altro?grazie
$sum_{n=1}^{oo} ((log(1+1/n) ) ^(3/2) )/{n} ((n^2 - 3n +1)/(n+5))$
$sum_{n=1}^{oo} ((log(1+1/n) ) ^(3/2) )/{n} ((n^2 - 3n +1)/(n+5))$
si dovrebbe applicare il criterio della radice.
Mi cimento ache io!!
$\sum_(n=1)^(\infty) \frac((log(1+\frac(1)(n)))^\frac(3)(2))(n)(\frac(n^(2) -3n +1)(n+5)) \approx \frac(1)(n^\frac(5)(2))(\frac(n^2)(n)) = \frac(1)(n^\frac(3)(2))$
e quindi converge. Ho sfruttato il limite notevole
$\lim_(x\rightarrow 0) \frac(\log(1+x))(x)=1$
Speriamo bene
$\sum_(n=1)^(\infty) \frac((log(1+\frac(1)(n)))^\frac(3)(2))(n)(\frac(n^(2) -3n +1)(n+5)) \approx \frac(1)(n^\frac(5)(2))(\frac(n^2)(n)) = \frac(1)(n^\frac(3)(2))$
e quindi converge. Ho sfruttato il limite notevole
$\lim_(x\rightarrow 0) \frac(\log(1+x))(x)=1$
Speriamo bene
"in_me_i_trust":
Mi cimento ache io!!
$\sum_(n=1)^(\infty) \frac((log(1+\frac(1)(n)))^\frac(3)(2))(n)(\frac(n^(2) -3n +1)(n+5)) \approx \frac(1)(n^\frac(5)(2))(\frac(n^2)(n)) = \frac(1)(n^\frac(3)(2))$
e quindi converge. Ho sfruttato il limite notevole
$\lim_(x\rightarrow 0) \frac(\log(1+x))(x)=1$
Speriamo bene
scusa mi puoi esplicitare i passaggi, xke così nn riesco a capire.
"in_me_i_trust":
Mi cimento ache io!!
$\sum_(n=1)^(\infty) \frac((log(1+\frac(1)(n)))^\frac(3)(2))(n)(\frac(n^(2) -3n +1)(n+5)) \approx \frac(1)(n^\frac(5)(2))(\frac(n^2)(n)) = \frac(1)(n^\frac(3)(2))$
e quindi converge. Ho sfruttato il limite notevole
$\lim_(x\rightarrow 0) \frac(\log(1+x))(x)=1$
Speriamo bene
(ma il lgaritmo è elevato a 3/2 ma anke il suo argomento è elevato a 3/2) quindi mi kiedevo se il limite notevole ke hai sfruttato è la stessa cosa.
"deioo":
(ma il lgaritmo è elevato a 3/2 ma anke il suo argomento è elevato a 3/2) quindi mi kiedevo se il limite notevole ke hai sfruttato è la stessa cosa.
Quello che è elevato alla $3/2$ è il risultato del logaritmo, non il suo argomento.
Essendo $log(1+1/n)$ per $n->+oo$ un infinitesimo, si possono applicare le approssimazioni del caso
"Spire":
[quote="deioo"](ma il lgaritmo è elevato a 3/2 ma anke il suo argomento è elevato a 3/2) quindi mi kiedevo se il limite notevole ke hai sfruttato è la stessa cosa.
Quello che è elevato alla $3/2$ è il risultato del logaritmo, non il suo argomento.
Essendo $log(1+1/n)$ per $n->+oo$ un infinitesimo, si possono applicare le approssimazioni del caso
[/quote]grazie adesso ho capito. mi puoi aiutare a risolvere la serie?
La risoluzione di in_me_i_trust è giusta anche se un po frettolosa.
$sum_(n=1)^(\infty) {(log(1+1/n))^(3/2)}/n((n^2-3n+1)/(n+5)) = sum_(n=1)^(\infty) {(1/n)^(3/2)}/n((n^2(1-3/n+1/n^2))/(n(1+5/n)))$
A questo punto maggioriamo la serie con questa:
$sum_(n=1)^(\infty) {(1/n)^(3/2)}/n(n^2/n)$
Se questa nuova serie converge, converge anche la precedente
(Se diverge non si può dire che quella precedente sia divergente)
$sum_(n=1)^(\infty) 1/n^{3/2}*1/n*1/n^-1$ = $sum_(n=1)^(\infty) 1/n^{3/2}$
$alpha=3/2 > 1$ quindi converge, a questo punto anche la nostra serie precedente (che abbiamo maggiorato con questa, converge.)
"in_me_i_trust":
Mi cimento ache io!!
$\sum_(n=1)^(\infty) \frac((log(1+\frac(1)(n)))^\frac(3)(2))(n)(\frac(n^(2) -3n +1)(n+5)) \approx \frac(1)(n^\frac(5)(2))(\frac(n^2)(n)) = \frac(1)(n^\frac(3)(2))$
e quindi converge. Ho sfruttato il limite notevole
$\lim_(x\rightarrow 0) \frac(\log(1+x))(x)=1$
Speriamo bene
$sum_(n=1)^(\infty) {(log(1+1/n))^(3/2)}/n((n^2-3n+1)/(n+5)) = sum_(n=1)^(\infty) {(1/n)^(3/2)}/n((n^2(1-3/n+1/n^2))/(n(1+5/n)))$
A questo punto maggioriamo la serie con questa:
$sum_(n=1)^(\infty) {(1/n)^(3/2)}/n(n^2/n)$
Se questa nuova serie converge, converge anche la precedente
(Se diverge non si può dire che quella precedente sia divergente)
$sum_(n=1)^(\infty) 1/n^{3/2}*1/n*1/n^-1$ = $sum_(n=1)^(\infty) 1/n^{3/2}$
$alpha=3/2 > 1$ quindi converge, a questo punto anche la nostra serie precedente (che abbiamo maggiorato con questa, converge.)
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