Cardioide

[fireball1]

Calcolare lunghezza e area del cardioide di equazione:
x² + y² - √(x² + y²) + x = 0

[Nidhogg]

r=a/2=-1/2
Area = 6*r^2*pi = 6*1/4*pi = 4.71238898

Lunghezza = 16*r = 8

Non so se è corretto perchè è la prima volta che studio questa curva.
Comunque me lo direte presto!

Ciao, Ermanno

[fireball1]

OK i risultati sono corretti!
Immagino ti sarai prima ricavato l'equazione
in forma polare e poi avrai calcolato il tutto
con un bel paio di integrali, vero? Se non è così
dimmi come hai fatto... E soprattutto come hai calcolato l'area.
Perché l'area è 6r² e la lunghezza è 16r? Dimostramelo.

Aggiungo poi una cosa: com'è possibile che io, che ho finito
il quarto LS PNI, a scuola non abbia ancora trattato nulla
di Analisi (che quindi mi sono studiato un po' per conto mio)
e di coordinate polari (anche queste le ho studiate da solo),
mentre tu, che fai il 4° ITIS Informatica e quindi hai la mia
stessa età, sì? Da ciò che leggo negli altri post sembra quasi
che voi all'ITIS facciate addirittura più Matematica di noi e
che siate più preparati di noi, che siamo del LS! Ho letto
la tua risposta per quanto riguarda il numero e e l'ho
ritenuta eccellente: hai usato parole che sembrano quelle di una
persona veramente molto competente in campo matematico!
Ma te l'anno detto a scuola o te lo sei studiato da te?

Modificato da - fireball il 05/06/2004 22:23:44

[Nidhogg]

Non ho fatto nulla di eccezionale. Le formule le ho trovate qui:
https://www.matematicamente.it/approfond ... dioide.htm

Con gli integrali sarebbe stato un po' complicato.

Ciao, Ermanno

[Nidhogg]

Sinceramente ti dico che i miei prof. hanno detto che si fa più matematica all'ITIS che al liceo scientifico. Comunque io molti argomenti me li studio a casa per conto mio. Una parentesi sull'argomento logaritmi: ti sembrerà incredibile a in quattro anni di superiori non hanno spiegato i logaritmi. Purtroppo ho dovuto studiarmeli da solo. Anche tu però sei molto competente in campo matematico!


Ciao, Ermanno.

[Studente Anonimo]

Il grafico della cardioide è :



Per quanto riguarda il calcolo della lunghezza il procedimento potrebbe essere :

- 1 - passaggio alle coordinate polari, per cui l'equazione della curva diventa :

ro = 1 - cos(teta)

- 2 - impostazione della formula della lunghezza :

L = (dx+dy)

- 3 - trasformazione della medesima considerando la rappresentazione parametrica della curva :

x = x(teta)
y = y(teta)

per cui si ottiene :

L = (D(x)+D(y))dteta

dove le D maiuscole indicano le derivate totali rispetto a teta

- 4 - calcolo delle derivate totali D(x) e D(y), dove

x = ro*cos(teta)
y = ro*sin(teta),

tenendo presente anche che ro = 1 - cos(teta) per cui si ottiene :

D(x) = sin(2teta) - sin(teta)
D(y) = -cos(2teta) + cos(teta)

- 5 - sostituzione nell'integrale che dà L e semplificazione per cui si ottiene :

L = (da 0 a 2)(2 - 2cos(teta))dteta

- 6 - calcolo dell'integrale (elementare, ma attenzione a scegliere una sostituzione monotona, per cui occorre dimostrare la simmetria della funzione integranda rispetto a ) che dà :

L = 8

Per quanto riguarda l'area, si tratta di risolvere l'integrale doppio :

S = dxdy

sul dominio di R corrispondente alla superficie in questione. Successivamente si può passare alle coordinate polari (utilizzando lo Jacobiano) e risolvere.

I calcoli sono piuttosto semplici (l'unica difficoltà, se così si può dire, è risolvere l'integrale di cos(teta)) per cui si perviene velocemente alla soluzione :

S = 3/2 .

S.E.e.O.

Modificato da - arriama il 06/06/2004 00:49:45