Cardinalità

[Asclepiade1]

Salve a tutti!

So che, per definizione, dati due insiemi A e B:
esiste una funzione iniettiva e suriettiva $f:A \rightarrow B$ implica $Card(A)=Card(B)$

Invece "$Card(A)=Card(B)$ implica esiste una funzione iniettiva e suriettiva $f:A\rightarrowB$" è vera o falsa?

[dissonance]

È un po' strana questa domanda, perché per me quella è proprio la definizione di "cardinalità". Quale sarebbe la definizione di \(\mathrm{card}(A)\), secondo te?

[Asclepiade1]

Non lo so. So solo dare un senso alla frase "due insiemi hanno la stessa cardinalità"

[Asclepiade1]

Spiego meglio il motivo della domanda.
Provando a dimostrare il teorema di Cantor-Schroeder-Bernstein, Siano A e B due insiemi, e siano $f:A\rightarrowB$ e $g:B\rightarrowA$ due funzioni iniettive. Allora esiste una funzione iniettiva e suriettiva $h:A\rightarrowB$, ho proceduto in questo modo:
$f:A\rightarrowB$ è iniettiva implica $Card(A)<=Card(B)$
$g:B\rightarrowA$ è iniettiva implica $Card(B)<=Card(A)$
Allora, per la tricotomia dei cardinali, $Card(A)=Card(B)$
Quindi se l'implicazione del primo messaggio vale in entrambi i sensi, allora il teorema è dimostrato. Altrimenti no.

[dissonance]

Ok, allora qual è la definizione di "due insiemi hanno la stessa cardinalità"?

[Asclepiade1]

Caro dissonance, ti chiedo gentilmente di evitare retoriche inutili e dare spiegazioni dritte al punto.
Lo ripeto di nuovo.
Dati due insiemi A e B, se esiste una funzione iniettiva e suriettiva $f:A→B$ allora $Card(A)=Card(B)$

[dissonance]

Nessuna retorica inutile. Come vedi, quello che hai scritto è esattamente la risposta alla tua domanda iniziale.

Invece "Card(A)=Card(B) implica esiste una funzione iniettiva e suriettiva f:A→B" è vera o falsa?

[Asclepiade1]

Ok. La definizione dice che l'implicazione è in un solo verso. Tuttavia il concetto di cardinalità di un insieme è stato creato per rendere il concetto di "numero di elementi di un insieme". Mi sembra strano che tra due insiemi che "hanno lo stesso numero di elementi" non possa essere esistere una funzione biiettiva...

[dissonance]

Quando si dà una definizione, si scrive "se" intendendo "se e solo se";

https://math.stackexchange.com/q/566565/8157

[Asclepiade1]

Ecco, grazie mille!!
Mi ha un po sconvolto questo fatto... Non lo sapevo proprio.
Ma quindi la mia dimostrazione dovrebbe essere corretta..

[dissonance]

Quale dimostrazione? Usi cose senza definirle; cosa sarebbe la "tricotomia dei cardinali"? Secondo me è esattamente il teorema che vuoi dimostrare, quindi la tua dimostrazione è circolare.

La difficoltà, nel dimostrare quel teorema, è *costruire* una funzione bigettiva sapendo che ne esiste una ingettiva e un'altra surgettiva (oppure una ingettiva con dominio e codominio scambiati, che è lo stesso).

[Asclepiade1]

Il teorema della tricotomia dei cardinali afferma che dati due insiemi A e B, o $Card(A)>Card(B)$ o $Card(A) Nelle dispense da cui sto studiando, tale teorema viene esposto senza dimostrazione prima del teorema di Cantor-Schroeder-Bernstein, quindi pensavo di poterlo utilizzare; ma mi rendo conto che con ogni probabilità la dimostrazione sarebbe circolare.

Lasciami dire che sarebbe meglio mantenere toni più distesi, evitando di puntare all'umiliazione dell'utente, anche quando venga fatto per un buono scopo, cioè per fargli capire i propri errori.
Grazie

[dissonance]

Non ho intenzione di umiliare nessuno, mi dispiace se ti sembra sia il caso; è vero che scrivo di fretta, questo si. (Non dovrei essere qui!).

Comunque, se le dispense presentano le cose con questo ordine logico, allora la tua dimostrazione va bene. Volevo solo che fossero ben chiare tutte le definizioni.

[gugo82]

"Asclepiade":Lasciami dire che sarebbe meglio mantenere toni più distesi, evitando di puntare all'umiliazione dell'utente, anche quando venga fatto per un buono scopo, cioè per fargli capire i propri errori.

[xdom="gugo82"]@Asclepiade: Per favore, prima di usare questi termini ("mantenere toni più distesi", "puntare all'umiliazione dell'utente", ...) ti invito caldamente a considerare il fatto che tu stai dialogando con un utente il quale:

[*:2rlpkbxh] è qui da 11 anni ed ha all'attivo più di 14K post,
[/*:m:2rlpkbxh]
[*:2rlpkbxh] ha aiutato innumerevoli altri utenti del forum senza mai essere sgarbato od insolente,
[/*:m:2rlpkbxh]
[*:2rlpkbxh] ha sempre mantenuto un altissimo grado di correttezza nei rapporti con tutto il forum (essendone moderatore per diversi anni)
[/*:m:2rlpkbxh]
[*:2rlpkbxh] sottrae del tempo alla ricerca per dare una mano a chi è alle prime armi.[/*:m:2rlpkbxh][/list:u:2rlpkbxh]

Per avere contezza di ciò, ti sarebbe bastato usare la funzione "Cerca".

Quindi, soppesa bene le parole prima di piazzare le dita sulla tastiera. [/xdom]

[dissonance]

[ot]@Gugo: Non ho risposto subito per dare occasione all'OP di dire qualcosa, se ne avesse avuto voglia. Ti ringrazio molto per questo tuo post, sono piccole cose che però fanno piacere.[/ot]