Caratterizzazione topologica della continuità e estremo superiore

[Angus1956]

Allora avevo dei dubi su queste due cose:
1) nella dimostrazione della caratterizzazione topologica della continuità presa $f:X->Y$ continua su $X$ se $V$ è un aperto di $Y$ devo distinguere in due casi ovvero se $f^-1(V)$ è vuoto allora per definizione è aperto e ho concluso, mentre se $f^-1(V)$ non è vuoto allora prendo $x_0inf^-1(V)$ e poi continuo la dimostrazione, giusto?

2) Sia $I=(alpha,beta)$, il fatto che esiste una successione in $I$ che converge a $su p(I)=beta$ viene dalla caratterizzazione dell'estremo superiore oppure si può pensare dal fatto che $su p(I)$ è punto di accumulazione di $I$ e quindi dalla caratterizzazione del punto di accumulazione, vanno bene entrambe?

[gugo82]

1. Sì.

2. Se $I$ è un intervallo, una successione convergente all'estremo superiore la puoi costruire anche con le tue manine belle... Non c'è bisogno d'altro.

[Angus1956]

"gugo82":
2. Se $I$ è un intervallo, una successione convergente all'estremo superiore la puoi costruire anche con le tue manine belle... Non c'è bisogno d'altro.

Vabbe ma mi serve in un teorema quindi non mi posso sta lì a mettere a farla (non è importante nel teorema in sé) quindi volevo sapere se potessi giustificarla in quei due modi.

[gugo82]

Ma perché, dire "si può costruire a mano" è un reato?