Caratterizzazione funzione convessa
Ciao! Devo risolvere questo esercizio, qualcuno può aiutarmi?
Sia f una funzione reale continua, definita su un aperto D di R^n. Inoltre so che per ogni x,y in D, tali che il segmento che li congiunge sia ancora in D, risulta:
$f(x/2+y/2)<=f(x)/2+f(y)/2$.
Provare che f è convessa.
Quindi devo provare che per ogni x,y in D, tali che il segmento che li congiunge sia ancora in D, risulta:
$f(\alpha y+(1-\alpha)x)<=\alphaf(y)+(1-\alpha)f(x)$, per $\alpha\in[0,1]$.
Il testo suggerisce di provare prima che la relazione è vera per $\alpha$ potenza di $1/2$. E questo si prova facilmente per induzione. E poi? Inoltre la proposizione vale se f è solo semicontinua superiormente invece che continua?
Sia f una funzione reale continua, definita su un aperto D di R^n. Inoltre so che per ogni x,y in D, tali che il segmento che li congiunge sia ancora in D, risulta:
$f(x/2+y/2)<=f(x)/2+f(y)/2$.
Provare che f è convessa.
Quindi devo provare che per ogni x,y in D, tali che il segmento che li congiunge sia ancora in D, risulta:
$f(\alpha y+(1-\alpha)x)<=\alphaf(y)+(1-\alpha)f(x)$, per $\alpha\in[0,1]$.
Il testo suggerisce di provare prima che la relazione è vera per $\alpha$ potenza di $1/2$. E questo si prova facilmente per induzione. E poi? Inoltre la proposizione vale se f è solo semicontinua superiormente invece che continua?
Risposte
Ciao, secondo me l'esercizio viene facile se ricordi la caratterizzazione delle funzioni convesse in termini di epigrafico. Una funzione è convessa se e solo se il suo epigrafico
$\{(x,y)\ |\ y\ge f(x)\}\subset D\times R$
è convesso (supposto che D sia convesso). Naturalmente per i dati dell'esercizio, presi due punti dell'epigrafico, il loro punto intermedio è ancora nell'epigrafico. È facile dimostrare che un insieme che ha questa proprietà è convesso (cfr metodo della bisezione).
$\{(x,y)\ |\ y\ge f(x)\}\subset D\times R$
è convesso (supposto che D sia convesso). Naturalmente per i dati dell'esercizio, presi due punti dell'epigrafico, il loro punto intermedio è ancora nell'epigrafico. È facile dimostrare che un insieme che ha questa proprietà è convesso (cfr metodo della bisezione).
Grazie, mi piace questa dimostrazione! E credo sia proprio l'idea geometrica che sta sotto il suggerimento del testo. Ora però se la funzione è continua è tutto risolto. Ma se è solo semicontinua superiormente non è proprio immediato perchè presi x e y nell'epigrafico E e un punto z del segmento che li congiunge, costruisco una successione di punti di E che tende a z. Ma E non è detto che sia chiuso se f non è continua
Effettivamente se una funzione è definita su un aperto ed è convessa allora è continua. Ma qui non lo so a priori. Uhm...
Si è così, per la semicontinuità inferiore funziona. Il problema è che ho la semicontinuità superiore 
Ops, avevo letto male. Ci penso...non trattenere il respiro nell'attesa.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo