Caratterizzazione di una serie
Ho iniziato ora l'ultima parte del programma ( esclusi numeri complessi ): le serie.
Gli esercizi prevalentemente sono lo studio della caratterizzazione, ma devo esercitarmi anche sul calcolo della somma nei casi di convergenza e lo studio del carattere di una serie al variare di un parametro.
La teoria a mia disposizione ( ovvero quella che fa parte del programma della mia docente ) non è enorme, ma credo basti: 1° teorema di Leibnitz, i 4 criteri di convergenza, serie geometrica, armonica e armonica generalizzata, serie a segni alterni, serie a termini non negativi, serie assolutamente convergente.
Ciò che voglio imparare è appunto capire il testo di un esercizio, cioè capire cosa mi chiede e regolarmi di conseguenza applicando le dovute regole.
Il testo del primo esercizio mi chiede di studiare il carattere di una serie e calcolarne la somma nei casi di convergenza:
$\sum_{n=1}^oo 1/2^n$
Ora, come devo muovermi inizialmente? Come posso arrivare a capire quale criterio applicare?
Gli esercizi prevalentemente sono lo studio della caratterizzazione, ma devo esercitarmi anche sul calcolo della somma nei casi di convergenza e lo studio del carattere di una serie al variare di un parametro.
La teoria a mia disposizione ( ovvero quella che fa parte del programma della mia docente ) non è enorme, ma credo basti: 1° teorema di Leibnitz, i 4 criteri di convergenza, serie geometrica, armonica e armonica generalizzata, serie a segni alterni, serie a termini non negativi, serie assolutamente convergente.
Ciò che voglio imparare è appunto capire il testo di un esercizio, cioè capire cosa mi chiede e regolarmi di conseguenza applicando le dovute regole.
Il testo del primo esercizio mi chiede di studiare il carattere di una serie e calcolarne la somma nei casi di convergenza:
$\sum_{n=1}^oo 1/2^n$
Ora, come devo muovermi inizialmente? Come posso arrivare a capire quale criterio applicare?
Risposte
be in questa serie non c'è molto da osservare se non che
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n
\end{align*}
che dovresti riconoscere essere una serie giometrica, che se convergesse, sapresti anche calcolarne la somma....
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n
\end{align*}
che dovresti riconoscere essere una serie giometrica, che se convergesse, sapresti anche calcolarne la somma....
Sì, ma alcuni esercizi guidati sul libro e sul web portano l'elemento fuori dal segno di serie e poi proseguono. Es.
$\sum_{n=1}^oo 3^(n+1)/2^(n+2)$ $=$ $3/16$ $\sum_{n=0}^oo 3^n/2^n$ $=$ $3/16 * 1/(1 - 3/4) = 3/4$
Sto da 1 ora sul libro di teoria nella parte della serie geometrica e non ho capito cosa ha fatto dal secondo passaggio in poi.
$\sum_{n=1}^oo 3^(n+1)/2^(n+2)$ $=$ $3/16$ $\sum_{n=0}^oo 3^n/2^n$ $=$ $3/16 * 1/(1 - 3/4) = 3/4$
Sto da 1 ora sul libro di teoria nella parte della serie geometrica e non ho capito cosa ha fatto dal secondo passaggio in poi.
è guidato male quel esercizio, perchè la serie non converge ...
Perchè è convergente? Se faccio il limite con $n->+oo$ viene la forma indeterinata $(+oo)/(+oo)$.
Comunque abbiamo un problema.. Se sbaglia pure il libro..
Comunque abbiamo un problema.. Se sbaglia pure il libro..
non è convergente, quella è una serie gemetrica di ragione $3/2>1$ è quindi non coverge; tant'è che proprio facendo il limite del termine generale dovresti accorgertene :quanto vale
\begin{align*} \lim_{n\to +\infty} \frac{3^n}{2^n} =??\end{align*}
\begin{align*} \lim_{n\to +\infty} \frac{3^n}{2^n} =??\end{align*}
No ma infatti hai ragione, logicamente è così.
Due domande:
- portare il termine della serie prima del segno di serie fa '' scalare '' di una unità la serie sempre o solo nelle serie geometriche?
- quando incontro una serie a termini positivi o non negativi, come faccio a studiarne il carattere? Io conosco il Teorema sulle serie a termini non negativi, il quale dice che serie a termini non negativi non posso essere indeterminate ma devono convergere o divergere positivamente.
Due domande:
- portare il termine della serie prima del segno di serie fa '' scalare '' di una unità la serie sempre o solo nelle serie geometriche?
- quando incontro una serie a termini positivi o non negativi, come faccio a studiarne il carattere? Io conosco il Teorema sulle serie a termini non negativi, il quale dice che serie a termini non negativi non posso essere indeterminate ma devono convergere o divergere positivamente.
proviamo a fare queste
Determinare il carattere delle serie:
[1)]\begin{align*} \sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^{n-1}}{(-n)^n}\end{align*}
[2)]\begin{align*} \sum_{n=1}^\infty\,\, \left[1-\sqrt e\left(\cos\frac{1}{n}\right)^{n^2}\right] \end{align*}
Determinare il carattere delle serie:
[1)]\begin{align*} \sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^{n-1}}{(-n)^n}\end{align*}
[2)]\begin{align*} \sum_{n=1}^\infty\,\, \left[1-\sqrt e\left(\cos\frac{1}{n}\right)^{n^2}\right] \end{align*}
Io le vorrei anche fare, ma non credo di esserne già capace.
Perché sto cercando di capire quali sono i primi 2-3 passi da fare di fronte al testo della serie.
Io direi che innanzitutto devo capire se può essere una serie geometrica o armonica o a segni non negativi. Da qui mi regolo di conseguenza.
Il tuo primo esercizio:
$a_1 = ((2)^0)/((-1)^1) = - 1$
$a_2 = (1) + ((3)^1)/((-2)^2) = - 1 + 3/4$
$a_3 = (1) + (3/4) + ((4)^2)/((-3)^3) = - 1 + 3/4 + (-16/27)$
$...$
$s_n = a_1 +...+ a_n = - 1 + ((n+1)^(n-1))/(-n)^n$
Poi suppongo debba fare il limite..
$lim_(n->+oo) 1 + ((n+1)^(n-1))/(-n)^n$
Anche se ha tutta l'aria di una serie a segni alterni, ma non ne sono sicuro. Ed in quel caso potrei applicare il criterio di convergenza per le serie alternate.
Perché sto cercando di capire quali sono i primi 2-3 passi da fare di fronte al testo della serie.
Io direi che innanzitutto devo capire se può essere una serie geometrica o armonica o a segni non negativi. Da qui mi regolo di conseguenza.
Il tuo primo esercizio:
$a_1 = ((2)^0)/((-1)^1) = - 1$
$a_2 = (1) + ((3)^1)/((-2)^2) = - 1 + 3/4$
$a_3 = (1) + (3/4) + ((4)^2)/((-3)^3) = - 1 + 3/4 + (-16/27)$
$...$
$s_n = a_1 +...+ a_n = - 1 + ((n+1)^(n-1))/(-n)^n$
Poi suppongo debba fare il limite..
$lim_(n->+oo) 1 + ((n+1)^(n-1))/(-n)^n$
Anche se ha tutta l'aria di una serie a segni alterni, ma non ne sono sicuro. Ed in quel caso potrei applicare il criterio di convergenza per le serie alternate.
la prima cosa che puoi osservare è che la serie data non è a termini positivi, in quanto, osservando che
\begin{align*}(-n)^n=(-1)^n\cdot n^n\end{align*}
la serie data è equivalente alla serie:
\begin{align*}
\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^{n-1}}{(-n)^n}&=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \cdot\frac{(n+1)^{n-1}}{n^n}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \cdot\frac{(n+1)^{n}\cdot (n+1)^{-1}}{n^n}\\
&= \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \cdot\left(\frac{n+1 }{n}\right)^n\cdot\frac{1}{n+1}= \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \cdot\left(1+\frac{1 }{n}\right)^n\cdot\frac{1}{n+1}
\end{align*}
che è una serie a segni alterni; a questo punto devi vedere se almeno la condizione necessaria per la convergenza è verificata, cioè devi calcolare il limite per $n\to+\infty$ del termine generale e vedere se è $0,$ cioè calcolare:
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty} (-1)^n \cdot\left(1+\frac{1 }{n}\right)^n\cdot\frac{1}{n+1}
\end{align*}
\begin{align*}(-n)^n=(-1)^n\cdot n^n\end{align*}
la serie data è equivalente alla serie:
\begin{align*}
\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^{n-1}}{(-n)^n}&=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \cdot\frac{(n+1)^{n-1}}{n^n}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \cdot\frac{(n+1)^{n}\cdot (n+1)^{-1}}{n^n}\\
&= \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \cdot\left(\frac{n+1 }{n}\right)^n\cdot\frac{1}{n+1}= \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \cdot\left(1+\frac{1 }{n}\right)^n\cdot\frac{1}{n+1}
\end{align*}
che è una serie a segni alterni; a questo punto devi vedere se almeno la condizione necessaria per la convergenza è verificata, cioè devi calcolare il limite per $n\to+\infty$ del termine generale e vedere se è $0,$ cioè calcolare:
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty} (-1)^n \cdot\left(1+\frac{1 }{n}\right)^n\cdot\frac{1}{n+1}
\end{align*}
Io è ciò che sto cercando, ovvero le regole da attuare una volta capita la tipologia di serie.
Sul mio libro ci sono solo le 3 serie principali più i criteri di convergenza, poi stop.
Sul mio libro ci sono solo le 3 serie principali più i criteri di convergenza, poi stop.
Sto avendo molte difficoltà con lo studio del carattere di questa serie:
$\sum_{n=1}^oo 1/2^n + (-1)^n$
Deve essere oscillante, ma sinceramente non capisco proprio come muovermi. Considerando anche che è tra i primi esercizi e quindi non è richiesto l'utilizzo di uno dei criteri.
$\sum_{n=1}^oo 1/2^n + (-1)^n$
Deve essere oscillante, ma sinceramente non capisco proprio come muovermi. Considerando anche che è tra i primi esercizi e quindi non è richiesto l'utilizzo di uno dei criteri.
Provato a calcolare il limite del termine generale?
Sinceramente no, ma $(-1)^n$ con $n->+oo$ è un limite notevole?
.....si, fondamentale, direi!
Ehm, scusa l'ignoranza.. Ma quanto risulta?
Tra l'altro l'ho calcolato su Wolfram Alpha e viene un esponenziale in campo complesso. Ho cercato su alcune tabelle online dato che tu hai detto che è un limite fondamentale, ma niente.
Tra l'altro l'ho calcolato su Wolfram Alpha e viene un esponenziale in campo complesso. Ho cercato su alcune tabelle online dato che tu hai detto che è un limite fondamentale, ma niente.
Nelle serie d'uso del criterio di radice incontro sempre:
$\lim_{n->infty} root(n)(n!)$
$\lim_{n->infty} root(n)(1/(n!))$
Credo siano limiti notevoli ma non li trovo su internet ne tantomeno li saprei calcolare.
$\lim_{n->infty} root(n)(n!)$
$\lim_{n->infty} root(n)(1/(n!))$
Credo siano limiti notevoli ma non li trovo su internet ne tantomeno li saprei calcolare.
anzitutto scrivi il limite in forma esponenziale:
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]n!=\lim_{n\to+\infty}e^{ \frac{\ln n!}{n}}
\end{align*}
invocando il teorema di Cesaro sulle medie aritmetiche, ricordando che
\begin{align*}
\ln n! =\sum_{k=1}^n\ln k
\end{align*}
si tratta dunque di calcolare il limite
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty} \frac{\ln n!}{n} = \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\ln k=\lim_{n\to+\infty} \ln n=+\infty
\end{align*}
quindi
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]n!=\lim_{n\to+\infty}e^{ \frac{\ln n!}{n}} =+\infty
\end{align*}
ed evidentemente
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt[n]n!}=0
\end{align*}
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]n!=\lim_{n\to+\infty}e^{ \frac{\ln n!}{n}}
\end{align*}
invocando il teorema di Cesaro sulle medie aritmetiche, ricordando che
\begin{align*}
\ln n! =\sum_{k=1}^n\ln k
\end{align*}
si tratta dunque di calcolare il limite
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty} \frac{\ln n!}{n} = \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\ln k=\lim_{n\to+\infty} \ln n=+\infty
\end{align*}
quindi
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]n!=\lim_{n\to+\infty}e^{ \frac{\ln n!}{n}} =+\infty
\end{align*}
ed evidentemente
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt[n]n!}=0
\end{align*}
Riguardo la successione $(-1)^n$: essa vale
$1$ se $n$ è pari, $-1$ se $n$ è dispari,
pertanto essa è l'esempio (standard) di una successione che non ha limite.
$1$ se $n$ è pari, $-1$ se $n$ è dispari,
pertanto essa è l'esempio (standard) di una successione che non ha limite.
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