Caratterizzazione delle primitive in un intervallo.

[Neptune2]

Non mi è chiaro bene questo teorema sugli integrali, ovvero dice:

1: Se $G1$ è una primitiva di $f$ in $A$ e $c$ è una costante, allora $G2 := G1 + c$ è una primitiva di f in A.

2: Se A è un intervallo, vale anche il viceversa, cioè: se $G1$ e $G2$ sono entrambe primitive di f nell’intervallo A, esiste una costante $c$ tale che $G2(x) = G1(x) + c$ $AA x in A$


Mi sfugge dove dice "Se A è un intervallo". Cioè che significa? o meglio, che cambia se $A$ è un insieme o $A$ è un intervallo?

[nato_pigro1]

Se consideri $A$ come unione di intervalli disgiunti è possibile che date due primitive non esista un tale $c$

[Neptune2]

Cioè praticamente dice se $A$ è un insieme, ed abbiamo $G1$ primitiva di $f$ e $c$ costante allora $EE g2 = g1+c$
Se invece $A$ è un intervalo vale il viceversa e cioè se $G1,G2$ sono due primitive, allora esiste una costante $c$ tale che $g2 = g1+c$

Non riesco però a capire la differenza, visto che si arriva sempre alla stessa formula!

[nato_pigro1]

Se $A$ è un intervallo vale il "se e solo se", la doppia implicazione. Se $A$ non è un intervallo vale sono una freccia.

Considera $A=[0,1]uu[2,3]$ e hai una funzione $f$ costante che vale mettiamo $1$ su tutto $A$.
$F(x)=x$ è una primitiva, ma anche $G(x)={(x,if x in [0,1]),(x+2,if x in [2,3]):}$ lo è però non esiste $c$ tale che $F=G+c$.