Caratterizzazione delle funzioni monotone

[The_Mad_Hatter]

Perché scomodare Lagrange?

L'enunciato è: se $f:[a,b]->RR$ ha derivata $>0$ in $[a,b]$, allora $f$ è monotona crescente in $[a,b]$. (anzi, io direi strettamente monotona)
La dimostrazione usuale è: $AA [n,m] sube [a,b]$ ovviamente con $m>n$, deve esistere per il teorema di Lagrange un punto $c in [n,m]$ tale che $f'(c) = (f(m)-f(n))/(m-n)$. Ora, dato che $f'(c)$ è per ipotesi maggiore di zero ed il denominatore è positivo, deve essere $f(m) > f(n)$, ovvero $f$ è strettamente monotona.

Ma non si può dimostrare la stessa cosa in questa maniera?
$AA c in [a,b]$ risulta $lim_(x->c) (f(x)-f(c))/(x-c) > 0$, pertanto:
(1) $x>c => f(x) > f(c)$
(2) $x f(x) < f(c)$
Ovvero $f$ è strettamente monotona.

Non va bene lo stesso sfruttando solo la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale?

[dissonance]

No. E' la derivata ad essere positiva, non il rapporto incrementale.

[The_Mad_Hatter]

"dissonance":No. E' la derivata ad essere positiva, non il rapporto incrementale.

Sono confuso :\

La derivata non è definita come $lim_(x->x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$ (ovviamente il limite deve essere finito)?

E non è quindi la stessa cosa dire $f'(x_0) > 0$ e $lim_(x->x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) > 0$ ??

[The_Mad_Hatter]

Continuo osservando che la stessa cosa, questa volta scomodando Lagrange, si può dimostrare così:

$AA c in [a,b]$ per il teorema del valor medio di Lagrange $AA x in [a, b]$ $EE d$ compreso tra $c$ ed $x$ tale che $f'(d) = (f(x)-f(c))/(x-c) > 0$, pertanto:
(1) $x>c => f(x) > f(c)$
(2) $x f(x) < f(c)$
Ovvero $f$ è strettamente monotona.

Praticamente ho dimostrato la stessa cosa di prima cioè che per qualsiasi punto $c$ compreso nell'intervallo $[a,b]$, il grafico della funzione localmente in $c$ si trova sopra la retta di equazione $y=c$ a destra del punto $c$, mentre si trova sotto quella retta a sinistra di $c$.


Onestamente non riesco a capire dove sia la falla né in questa né nella precedente dimostrazione...

[Rigel1]

Considera la seguente funzione:
$f(x) = {(x/2+x^2 \sin(1/x), x\ne 0), (0, x=0):}$
Se applichi il tuo ragionamento per $c=0$ ottieni (correttamente) che $f(x) > 0$ per $x>0$ e $f(x) < 0$ per $x<0$.
Tuttavia $f$ non è monotona in nessun intorno dell'origine.

[The_Mad_Hatter]

Premetto che sto un po' di fretta e un po' distratto perché sto facendo svariate cose in questo momento... comunque:

"Rigel":Considera la seguente funzione:
$f(x) = {(x/2+x^2 \sin(1/x), x\ne 0), (0, x=0):}$
Se applichi il tuo ragionamento per $c=0$ ottieni (correttamente) che $f(x) > 0$ per $x>0$ e $f(x) < 0$ per $x<0$.
Tuttavia $f$ non è monotona in nessun intorno dell'origine.

Intanto ti ringrazio, perché se sto sbagliando qualcosa lo posso capire solo con adeguati controesempi.

Ad ogni modo non credo sia questo il caso: io ho detto che quanto esposto sopra deve essere vero $AA c$ nell'intervallo di monotonia e che la derivata deve essere $> 0$
Quindi dobbiamo prima avere un intervallo del tipo $[-\epsilon, \epsilon]$ (con $\epsilon > 0$), poi sapere che $f'(x) > 0 AA x in [-\epsilon, \epsilon]$ e solo in fine poter dedurre che la funzione è strettamente crescente.

Ora, il punto è che non mi pare che in un intorno di $0$ sia positiva la derivata di quella funzione (tra l'altro la derivata non è definita in 0. Se non ho calcolato male dovrebbe essere: $1/2+2xsin(1/x)-cos(1/x)$).

Ovvio che se cade l'ipotesi, ogni teorema può essere falso...

[Rigel1]

1) La derivata è definita in $0$, e vale $1/2$ (basta fare il limite del rapporto incrementale).

2) E' ovvio che nessuno potrà mai mostrarti una funzione con derivata positiva (o negativa) in un intervallo e non monotona!

L'esempio serviva a mostrare che, se anche $f'(c)>0$, non è detto che esista un intorno di $c$ dove $f$ è monotona crescente (come spesso erroneamente qualcuno crede).


Quello che tu dimostri è che, per ogni $c\in (a,b)$, esiste un intorno $(c-\delta, c+\delta)$ di $c$, con $\delta$ dipendente da $c$, tale che
$f(x) > f(c)$ per ogni $x\in (c, c+\delta)$ e $f(x) < f(c)$ per ogni $x\in (c-\delta, c)$.
Questo è diverso dal dire che per ogni coppia di punti $x$ e $c$ con $x
(Se vuoi, il tuo ragionamento si può aggiustare, ma l'uso del teorema di Lagrange fornisce una dimostrazione sicuramente più semplice.)

[The_Mad_Hatter]

"Rigel":1) La derivata è definita in $0$, e vale $1/2$ (basta fare il limite del rapporto incrementale).

Giusto, chissà a che cavolo stavo pensando mentre ho scritto quella cosa.

L'esempio serviva a mostrare che, se anche $f'(c)>0$, non è detto che esista un intorno di $c$ dove $f$ è monotona crescente (come spesso erroneamente qualcuno crede).

Ma esiste in intorno di $c$ in cui $f$ è monotona rispetto a $c$[1]. Ma non è detto che sia monotona! Ora ho capito!

Quello che tu dimostri è che, per ogni $c\in (a,b)$, esiste un intorno $(c-\delta, c+\delta)$ di $c$, con $\delta$ dipendente da $c$, tale che
$f(x) > f(c)$ per ogni $x\in (c, c+\delta)$ e $f(x) < f(c)$ per ogni $x\in (c-\delta, c)$.
Questo è diverso dal dire che per ogni coppia di punti $x$ e $c$ con $x
Esattamente quello che volevo esprimere prima

Ma... ho ancora un dubbio sul tuo esempio (scusa la testardaggine ). La funzione da te scritta $AA \delta>0$ è negativa in $[-\delta,0]$ e positiva in $[0,\delta]$. Questa è la cosa che abbiamo potuto dimostrare ed appurare con quanto ho scritto io sopra.
Sopra però (nel primo post) ho scritto anche che $AA c in [a,b]$ deve essere "eccetera eccetera". Il nostra $[a,b]$ ora sarebbe $[-\delta,\delta]$. Abbiamo visto che per $c=0$ vale quell' "eccetera eccetera", ma per poter dire che $f$ è monotona deve valere per TUTTI i punti compresi nell'intervallo. Altrimenti avrei dimostrato solo che la funzione è negativa per $x<0$ e positiva per $x>0$, come giustamente mi hai fatto notare.


Equivalentemente (almeno credo, eh, a questo punto! ), nel terzo post dico che

per qualsiasi punto $c$ compreso nell'intervallo $[a,b]$, il grafico della funzione localmente in $c$ si trova sopra la retta di equazione $y=c$ a destra del punto $c$, mentre si trova sotto quella retta a sinistra di $c$.

anche se qui l'ho dimostrato con il teorema di Lagrange.

Insomma però a me sembra equivalente la cosa no?

Nel senso:
se in un intervallo ogni punto funge da elemento di separazione, alla fine risulta che nell'intervallo se $x1
Dove mi sbaglio stavolta?

[1]non so se la terminologia nella letteratura matematica sia uniforme a riguardo... io sulle slide del mio prof ho una dimostrazione di monotonia rispetto ad un punto, che comunque è esattamente quello che hai scritto tu appena un rigo sotto... giusto per intenderci

[dissonance]

Bella spiegazione, Rigel. Riguardo

"Rigel":L'esempio serviva a mostrare che, se anche $f'(c)>0$, non è detto che esista un intorno di $c$ dove $f$ è monotona crescente (come spesso erroneamente qualcuno crede).

Tra questi "qualcuno" rientrano nomi insospettabili: è un errore che ho trovato anche su libri e dispense universitarie, specialmente di materie vicine di casa dell'analisi come fisica matematica e calcolo numerico.

P.S.: Ecco qui un esempio:
https://www.matematicamente.it/forum/der ... 32859.html

[Rigel1]

Nel senso:
se in un intervallo ogni punto funge da elemento di separazione, alla fine risulta che nell'intervallo se x1

Il punto è questo: supponiamo di avere $x_1 < x_2$.
Ragionando su $x_1$, trovi $\delta_1>0$ t.c. $f(x) > f(x_1)$ per ogni $x\in (x_1, x_1+\delta_1]$.
Non è detto che questo intervallo contenga $x_2$; puoi però pensare di ragionare su $y_2 := x_1+\delta_1$, trovando un $\delta_2>0$ t.c.
$f(x) > f(y_1) > f(x_1)$ per ogni $x\in (y_1, y_1+\delta_2]$.
Si può pensare di iterare la costruzione, sperando di arrivare fino a $x_2$. Purtroppo, i $\delta_n$, pur essendo positivi, potrebbero tendere a zero abbastanza rapidamente da fare in modo che in $x_2$ non ci si arrivi.
Come ti dicevo, si potrebbe usare un argomento di compattezza per sistemare questo problema, ma a questo punto è più semplice usare il teor. di Lagrange.

[Rigel1]

"dissonance":
P.S.: Ecco qui un esempio:
https://www.matematicamente.it/forum/der ... 32859.html

Ovviamente quell'enunciato è falso.
Probabilmente (ma non conosco il volume in questione) l'autore intendeva dire qualcosa di questo tipo:
se $\Phi$ è derivabile in $a$ e $|\Phi'(a)| = K < 1$, allora esiste una costante $K'\in [K,1)$ tale che...

Alla fine ciò che importa è che quel rapporto incrementale sia uniformemente $<1$ in un intorno di $a$.

[dissonance]

[OT]Si, con un po' di mestiere alla fine si riesce a recuperare il filo del discorso. Non ricordo il caso specifico ora ma alla fine fu grossomodo quello che feci quando studiai quella roba. Questi però sono errori che è meglio evitare quando si scrive agli studenti, perché a volte non sono recuperabili, e inoltre creano grande confusione nei meno preparati.

Per esempio di recente ho trovato su un testo di Meccanica Razionale l'uso ampio della proposizione

$f$ è convessa $=>$ la matrice Hessiana di $f$ è ovunque definita positiva; (FALSO: controesempio $x^4$)

parlando con miei colleghi studenti ho notato con raccapriccio che nessuno se ne era accorto, e che tutti si sono ficcati nella mente l'idea che questa proposizione è vera. [/OT]

[The_Mad_Hatter]

"Rigel":Il punto è questo: supponiamo di avere $x_1 < x_2$.
Ragionando su $x_1$, trovi $\delta_1>0$ t.c. $f(x) > f(x_1)$ per ogni $x\in (x_1, x_1+\delta_1]$.
Non è detto che questo intervallo contenga $x_2$; puoi però pensare di ragionare su $y_2 := x_1+\delta_1$, trovando un $\delta_2>0$ t.c.
$f(x) > f(y_1) > f(x_1)$ per ogni $x\in (y_1, y_1+\delta_2]$.
Si può pensare di iterare la costruzione, sperando di arrivare fino a $x_2$. Purtroppo, i $\delta_n$, pur essendo positivi, potrebbero tendere a zero abbastanza rapidamente da fare in modo che in $x_2$ non ci si arrivi.

Lo capisco, ma è proprio per questo che ho usato il "per ogni". Infatti quel $AA c in [a,b]$ implica che se ho $x_1,x_2$ con $x_1
Infatti se non lo trovassi, verrebbe meno proprio quel "per ogni".
Supponiamo di iterare il tuo ragionamento e non trovare nessun intervallo che comprenda x$_2$. Questo significa che $EE x in [x_a,x_2]$ tale da non fungere da elemento di separazione.
Nella fattispecie, se ragionando su $x_1$, troviamo $\delta_1>0$ t.c. $f(x) > f(x_1)$ per ogni $x\in (x_1, x_1+\delta_1]$, quel "per ogni" dice che necessariamente anche per $\delta_1$ stesso deve esistere un $\delta$ t.c. $f(x) > f(\delta_1)$ per ogni $x\in (\delta_1, x_1+\delta]$.

Insomma ora che ci penso, probabilmente ragionando così si arriva alla conclusione che l'intervallo dovrebbe essere $[a,b]$ per ogni punto..


Mah.. forse mi sto solo complicando la vita inutilmente... però se dicessi di aver capito perché questo ragionamento non va bene, direi una fesseria.

[Rigel1]

Se vuoi anche il tuo ragionamento può andare bene.
Se supponi che, partendo da $x_1$, la costruzione citata prima si interrompa in $x_1+T$, puoi poi ragionare sul punto $x_1+T$ stesso per mostrare che puoi andare avanti; questo è un tipo di ragionamento che viene utile anche, ad esempio, quando si parla di soluzioni massimali per le equazioni differenziali.

Tuttavia tutto quando abbiamo detto finora non si applica quando hai solo $f'\ge 0$ in un intervallo $I$ (condizione che, per le funzioni derivabili, è necessaria e sufficiente per avere la monotonia crescente - in senso debole).
La dimostrazione basata sul teor. di Lagrange si riporta invece allo stesso modo nei due casi.

[The_Mad_Hatter]

Avete un'infinita pazienza

Ed ovviamente se domani mi dovesse per caso chiedere la caratterizzazione delle funzioni monotone in un intervallo gli parlo diretto diretto di Lagrange...

Non sono ancora al suo livello

[dissonance]

"The_Mad_Hatter":Avete un'infinita pazienza

Veramente ha fatto tutto Rigel, è lui che devi ringraziare.

[j18eos]

Vorrei fare i miei complimenti a Rigel in quanto mi ha ricordato il perché si deve utilizzare il teorema di Lagrange per dimostrare il teorema di Fermat sulle funzioni monotòne, illuminando le ombre di tale ragionamento!

Ottima anche l'anticipo sul problema dell'estensione delle soluzioni delle equazioni differenziali!

[Rigel1]

Grazie, troppo gentili.