Caratterizzazione del massimo limite.

[compa90]

Buongiorno, volevo chiedervi se il procedimento di dimostrazione della seguente affermazione

Sia $l in RR$ tale che $\lim_{n \to \infty} \mbox{sup}{a_n}=l$ allora $l=\mbox{inf}\{A}$ con $A={a \ in \RR : a \ge a_n, \forall n ge k}$.

risulta corretto.

Dimostrazione:
$\lim_{n \to \infty} \mbox{sup}{a_n}=l$ per definizione di limite di successione si ha che

$\forall epsilon>0, \exists N=N(\epsilon)>0 : l-\epsilon<\mbox{sup}{a_n}

Scomponendo si ha
1) $\mbox{sup}{a_n} 2) $\mbox{sup}{a_n}>l-\epsilon$
se $ n ge N$.

Poiché $ \mbox{sup}{a_n} ge a_n$ per ogni $n in NN$, allora $a_n
Rimane da verificare

$a_ngel \qquad \forall n ge N$

Per assurdo $a_n Se $l Se $L

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Risposte

compa90

27 mar 2023, 16:39

Rileggendo mi sono reso conto di non aver valutato questo caso $a_nleL
In tal caso ho considerato che l'estremo superiore gode della seguente proprietà

$m in RR$, per cui $forall n \in NN$ si ha $a_nlem \to L le m$.

Posso prendere $m=l-\epsilon$, quindi $L le l-\epsilon$, ma questo è assurdo per la 2).

Può andare bene ?

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otta96

27 mar 2023, 19:35

Non si capisce bene il testo, che limite è quello? E cos'è $k$?

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compa90

29 mar 2023, 13:00

Ciao, con l’insieme $A$ indico l’insieme dei numeri definitamente maggioranti della successione, invece, con $l$, indico il massimo limite, cioè il massimo dei valori limiti della successione.
Faccio esempio, così mi spiego meglio, sia $a_n={(-1)^n}$.
L’insieme dei valori limiti ${-1,+1}$, il massimo dei valori limiti è $1$.

Se non sbaglio per, valore limite dovrebbe coincidere con il concetto di punto di aderenza.

Comunque, il mio dubbio maggiore ce l’ho nell’ultimo messaggio.

Saluti

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[compa90]

Rileggendo mi sono reso conto di non aver valutato questo caso $a_nleL
In tal caso ho considerato che l'estremo superiore gode della seguente proprietà

$m in RR$, per cui $forall n \in NN$ si ha $a_nlem \to L le m$.

Posso prendere $m=l-\epsilon$, quindi $L le l-\epsilon$, ma questo è assurdo per la 2).

Può andare bene ?

[otta96]

Non si capisce bene il testo, che limite è quello? E cos'è $k$?

[compa90]

Ciao, con l’insieme $A$ indico l’insieme dei numeri definitamente maggioranti della successione, invece, con $l$, indico il massimo limite, cioè il massimo dei valori limiti della successione.
Faccio esempio, così mi spiego meglio, sia $a_n={(-1)^n}$.
L’insieme dei valori limiti ${-1,+1}$, il massimo dei valori limiti è $1$.

Se non sbaglio per, valore limite dovrebbe coincidere con il concetto di punto di aderenza.

Comunque, il mio dubbio maggiore ce l’ho nell’ultimo messaggio.

Saluti