Caratterizzazione dei salti di una funzione continua

[compa90]

Buongiorno, volevo chiedervi se la seguente idea, risulta essere fattibile.

Sia $f: (a,b) to RR$ funzione monotona crescente, una tale funzione può avere al più punti di discontinuità di prima specie, escludendo gli estremi. Vorrei provare che la somma dei salti non può superare $f(b)-f(a)$.

Ora ho questo l'ho provato in maniera diretta, cioè facendo cosi, suppongo che $x_0< x_1$ siano punti di discontinuità, allora devo verifcare che $s(x_0)+s(x_1) le f(b)-f(a)$, dove

$s(x_i)=lim_(x to x_i^+)f(x)-lim_(x to x_i^-)f(x)$, $i=0,1$

Faccio queste osservazioni

$[lim_(x to x_0^+)f(x) le lim_(x to x_1^-)f(x)]$, $[f(b) ge lim_(x to x_1^+)f(x)]$ e $[-f(a) ge -lim_(x to x_0^-)f(x)]$

quindi,
$s(x_0)+s(x_1)=lim_(x to x_0^+)f(x)-lim_(x to x_0^-)f(x)+lim_(x to x_1^+)f(x)-lim_(x to x_1^-)f(x)$
$[lim_(x to x_0^+)f(x)-lim_(x to x_1^-)f(x)]+[lim_(x to x_1^+)f(x)-lim_(x to x_0^-)f(x)] le f(b)-f(a)$

Procendo in questo modo, penso che si potrebbe provare anche $s(x_0)+s(x_1)+s(x_2) le f(b)-f(a)$ ecc..


Osservo però che $[f(a),f(b)] subseteq RR$, eridità la struttura algebra di $RR$, quindi,

$ forall y_1, y_2 in [f(a),f(b)] to y_1+y_2 in [f(a),f(b)]$

se faccio vedere che $s(x_i) in [f(a),f(b)]$ per ogni $i$ ho fatto.

E' fattibile come cosa, oppure mi butto in un burrone ?

Ciao

[otta96]

"compa90":Osservo però che $[f(a),f(b)] subseteq RR$, eridità la struttura algebra di $RR$, quindi,

$ forall y_1, y_2 in [f(a),f(b)] to y_1+y_2 in [f(a),f(b)]$

Questo non è vero.

se faccio vedere che $s(x_i) in [f(a),f(b)]$ per ogni $i$ ho fatto.

E' fattibile come cosa, oppure mi butto in un burrone ?

Eh, sembri pensare che siano per forza finiti i punti di salto...