Caratterizzazione dei chiusi in uno spazio metrico
Salve ragazzi.
Dal momento che il mio testo di riferimento e il mio docente utilizzano due definizione di insieme chiuso differenti (il che a volte risulta una gran seccatura volendo scrivere gli appunti in maniera coerente...), ho provato a dimostrare che le due definizioni fossero equivalenti, prendendo come definizione vera e propria quella del libro. Premetto la seguente (d'ora in poi "ci troviamo" in uno spazio metrico $(E,d)$
)
La definizione di chiuso che assumo come tale è:
Voglio dimostrare questo:
Dimostrazione.
Comincio con $(\Rightarrow)$. Supponiamo che $A\subseteq E$ sia chiuso, cioè che $A^C=E\setminus A$ sia aperto, in altre parole che
\[\forall x\in E\setminus A,\ \exists r>0:B_r(x)\subseteq E\setminus A\tag{1}\]
Prendiamo quindi un $x\in \text{Dr}(A)$ e mostriamo che sta in $A$. Se $x\in\text{Dr}(A)$, allora, per definizione, per ogni intorno $U$ di $x$ si ha
\[U\cap A\setminus\{x\}\ne\emptyset\tag{2}\]
Supponiamo per assurdo che $x\notin A$. Allora $x\in E\setminus A$, quindi, per la $(1)$, esiste una palla $B_r(x)$ tale che $B_r(x)\subseteq E\setminus A$, cioè tale che $B_r(A) \cap A=\emptyset$. D'altra parte $B_r(x)$ è un intorno di $x$, quindi dalla $(2)$ segue che $B_r(x)\cap A\setminus \{x\}\ne \emptyset$. In definitiva
\[\emptyset=\underbrace{B_r(x)\cap A}_{=\emptyset}\setminus \{x\}\ne \emptyset\]
che produce la contraddizione che volevo.
Andiamo avanti con $(\Leftarrow)$. Supponiamo che $A$ contenga il suo derivato, cioè che
\[x\in\text{Dr}(A)\implies x\in A\]
ovvero (indico con $\mathcal{I}_x$ la famiglia degli intorni di $x$)
\[[\forall U\in \mathscr{I}_x,\ U\cap A\setminus\{x\}\ne\emptyset]\implies x\in A \tag{3}\]
Da qui ho, essendo $x\in E$,
\[x\in E\setminus A\iff x\notin A\stackrel{(3)}{\implies}[\exists U\in \mathscr{I}_x,\ U\cap A\setminus\{x\}=\emptyset]\implies (\ast)\]
(ho definito gli intorni di $x$ come gli insiemi contenenti qualche palla di centro $x$)
\[(\ast)\implies [\exists r>0: B_r(x)\cap A\setminus \{x\}=\emptyset]\stackrel{x\notin A}{\implies} [\exists r>0: B_r(x)\cap A=\emptyset]\implies [\exists r>0: B_r(x)\subseteq E\setminus A]\]
cioè $E\setminus A$ è aperto, come volevo.
Qualche errore/imprecisione/cosa-inutilmente-complicata?
Dal momento che il mio testo di riferimento e il mio docente utilizzano due definizione di insieme chiuso differenti (il che a volte risulta una gran seccatura volendo scrivere gli appunti in maniera coerente...), ho provato a dimostrare che le due definizioni fossero equivalenti, prendendo come definizione vera e propria quella del libro. Premetto la seguente (d'ora in poi "ci troviamo" in uno spazio metrico $(E,d)$
)Definizione. Si dice che $A\subseteq E$ è aperto se
\[\forall x\in A,\ \exists r>0:B_r(x)\subseteq A\]
dove $B_r(x)$ è la palla di centro $x$ e raggio $r$.
La definizione di chiuso che assumo come tale è:
Definizione. Si dice che $A\subseteq E$ è chiuso se $A^C$ è aperto.
Voglio dimostrare questo:
Proposizione.
\[A\ \text{chiuso}\iff \text{Dr}(A)\subseteq A\]
(dove $\text{Dr}(A)$ denota l'insieme dei p.d.a. di $A$)
Dimostrazione.
Comincio con $(\Rightarrow)$. Supponiamo che $A\subseteq E$ sia chiuso, cioè che $A^C=E\setminus A$ sia aperto, in altre parole che
\[\forall x\in E\setminus A,\ \exists r>0:B_r(x)\subseteq E\setminus A\tag{1}\]
Prendiamo quindi un $x\in \text{Dr}(A)$ e mostriamo che sta in $A$. Se $x\in\text{Dr}(A)$, allora, per definizione, per ogni intorno $U$ di $x$ si ha
\[U\cap A\setminus\{x\}\ne\emptyset\tag{2}\]
Supponiamo per assurdo che $x\notin A$. Allora $x\in E\setminus A$, quindi, per la $(1)$, esiste una palla $B_r(x)$ tale che $B_r(x)\subseteq E\setminus A$, cioè tale che $B_r(A) \cap A=\emptyset$. D'altra parte $B_r(x)$ è un intorno di $x$, quindi dalla $(2)$ segue che $B_r(x)\cap A\setminus \{x\}\ne \emptyset$. In definitiva
\[\emptyset=\underbrace{B_r(x)\cap A}_{=\emptyset}\setminus \{x\}\ne \emptyset\]
che produce la contraddizione che volevo.
Andiamo avanti con $(\Leftarrow)$. Supponiamo che $A$ contenga il suo derivato, cioè che
\[x\in\text{Dr}(A)\implies x\in A\]
ovvero (indico con $\mathcal{I}_x$ la famiglia degli intorni di $x$)
\[[\forall U\in \mathscr{I}_x,\ U\cap A\setminus\{x\}\ne\emptyset]\implies x\in A \tag{3}\]
Da qui ho, essendo $x\in E$,
\[x\in E\setminus A\iff x\notin A\stackrel{(3)}{\implies}[\exists U\in \mathscr{I}_x,\ U\cap A\setminus\{x\}=\emptyset]\implies (\ast)\]
(ho definito gli intorni di $x$ come gli insiemi contenenti qualche palla di centro $x$)
\[(\ast)\implies [\exists r>0: B_r(x)\cap A\setminus \{x\}=\emptyset]\stackrel{x\notin A}{\implies} [\exists r>0: B_r(x)\cap A=\emptyset]\implies [\exists r>0: B_r(x)\subseteq E\setminus A]\]
cioè $E\setminus A$ è aperto, come volevo.
Qualche errore/imprecisione/cosa-inutilmente-complicata?
Risposte
Direi che va tutto bene. 
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