Caratterizzazione degli aperti
"ogni aperto $A sub R_d$ può essere espresso come unione numerabile disgiunta di intervalli chiusi, cioè $A = uu_k I_k$ con $d(I_i,I_j) > 0 , AA i,j in NN$"
Il mio problema è la dimostrazione (anche link a dimostrazioni vanno bene), oltre al fatto che in qualche modo mi suona strano: come può essere un insieme aperto espresso come unione di un numero finito (o numerabile va interpretato in altro modo?) di chiusi? tra l'altro sapevo che un unione finita di chiusi è un insieme chiuso... sono io che mi perdo qualche dettaglio importante o è semplicemente sbagliata questa affermazione?
Grazie
Il mio problema è la dimostrazione (anche link a dimostrazioni vanno bene), oltre al fatto che in qualche modo mi suona strano: come può essere un insieme aperto espresso come unione di un numero finito (o numerabile va interpretato in altro modo?) di chiusi? tra l'altro sapevo che un unione finita di chiusi è un insieme chiuso... sono io che mi perdo qualche dettaglio importante o è semplicemente sbagliata questa affermazione?
Grazie
Risposte
"Numerabile" non significa "finito", ma "numerabilmente infinito", attenzione: è MOLTO diverso. Significa che esiste una successione ${I_1, I_2, ...}$ di intervalli chiusi la cui unione è l'aperto dato. Per capire l'idea intuitiva della dimostrazione, immagina il piano come un foglio a quadretti, e di disegnarci su una figura qualsiasi che rappresenta il tuo aperto. Un certo numero di quadretti sarà contenuto nella figura: immagina di scartarli, e di trasportare i rimanenti pezzi di figura su un altro foglio, con quadrettatura più fine. Ognuno di questi pezzi conterrà dei quadrettini: scarta anche questi, e trasporta i restanti pezzi di figura su un terzo foglio, con quadrettatura ancora più fine. Procedendo in questo modo, dopo "un numero infinito di passi", avrai esaurito l'intera figura, ovvero, nel gergo matematico, avrai espresso l'aperto di partenza come unione numerabile di quadretti.
//doppio
grazie per la risposta... ci provo:
Dato $A$ un aperto di $RR^n$. Sia $G_\delta$ unione degli intervalli di un reticolato di diametro $1/2^\delta$ aventi almeno un punto in comune con $A$. Definiamo allora $S -= \bigcap_(deltainNN) G_\delta$. Per dimostrare che $S = A$ dimostriamo separatamente che $S supe A$ e $S sube A$. La prima è ovvia per le definizioni, per cui passiamo subito a dimostrare la seconda. Sia $x in S$, allora esiste un rettangolo n-dimensionale contenente $x$ ed almeno un punto di $A$. Sia $\gamma -= d(x,A)$ e poniamo per assurdo che $x !in A$. Allora $\gamma > 0$, ma questo significa che posso prendere un reticolato di diametro $< \gamma/2$ e in corrispondenza di questo un insieme $G$ che non contiene $x$, che è assurdo poiché $x$ per definizione è nell'intersezione di tutti i $G$.
A questo punto però ho un dubbio: essendo A aperto, il fatto che d(x,A) =0 non implica che x appartenga ad A, perché potrebbe stare nella sua frontiera giusto? come escludo questo caso?
Dato $A$ un aperto di $RR^n$. Sia $G_\delta$ unione degli intervalli di un reticolato di diametro $1/2^\delta$ aventi almeno un punto in comune con $A$. Definiamo allora $S -= \bigcap_(deltainNN) G_\delta$. Per dimostrare che $S = A$ dimostriamo separatamente che $S supe A$ e $S sube A$. La prima è ovvia per le definizioni, per cui passiamo subito a dimostrare la seconda. Sia $x in S$, allora esiste un rettangolo n-dimensionale contenente $x$ ed almeno un punto di $A$. Sia $\gamma -= d(x,A)$ e poniamo per assurdo che $x !in A$. Allora $\gamma > 0$, ma questo significa che posso prendere un reticolato di diametro $< \gamma/2$ e in corrispondenza di questo un insieme $G$ che non contiene $x$, che è assurdo poiché $x$ per definizione è nell'intersezione di tutti i $G$.
A questo punto però ho un dubbio: essendo A aperto, il fatto che d(x,A) =0 non implica che x appartenga ad A, perché potrebbe stare nella sua frontiera giusto? come escludo questo caso?
Io ne so un'altra.
Dato $x$ in $A$ definisco $a_x:= "inf"{x':[x',x]\subset A}$, $b_x:="sup"{x'':[x,x'']\subset A}$ e $I_x:=]a_x,b_x[$. E' ovvio che $A=\bigcup_{x\in A}I_x$
(che non è ancora un gran che, d'accordo). A questo punto notiamo che per ogni $x$ c'è un numero razionale $q_x$ in $I_x$ (e quindi $I_x=I_{q_x}$).
Dato che i razionali sono numerabili, l'insieme $A_1$ delle $q_x$ è numerabile e chiaramente $A=\bigcup_{q\in A_1}I_q$.
Certo si passa per la numerabilità dei razionali ...(e per la loro densità).
Dato $x$ in $A$ definisco $a_x:= "inf"{x':[x',x]\subset A}$, $b_x:="sup"{x'':[x,x'']\subset A}$ e $I_x:=]a_x,b_x[$. E' ovvio che $A=\bigcup_{x\in A}I_x$
(che non è ancora un gran che, d'accordo). A questo punto notiamo che per ogni $x$ c'è un numero razionale $q_x$ in $I_x$ (e quindi $I_x=I_{q_x}$).
Dato che i razionali sono numerabili, l'insieme $A_1$ delle $q_x$ è numerabile e chiaramente $A=\bigcup_{q\in A_1}I_q$.
Certo si passa per la numerabilità dei razionali ...(e per la loro densità).
Certo così è più elegante.. ma non ho capito bene come stabilisci la corrispondenza tra $x$ e $q_x$... come fai ad associare ad ogni reale un razionale?
"Pdirac":
Certo così è più elegante.. ma non ho capito bene come stabilisci la corrispondenza tra $x$ e $q_x$... come fai ad associare ad ogni reale un razionale?
Risposta istintiva: uso l'assioma della scelta ....
Risposta meditata: in realtà quello che devo fare è costruire l'insieme $A_1$ e quindi potrei prendere dall'inizio solo gli $x$ razionali - quello che mi serve allora è dimostrare che
$A=\bigcup_{x\in A\cap\QQ}I_x$. In effetti preso un qualunque $x$ di $A$ esiste un $\delta>0$ tale che $]x-\delta,x+delta[\subset A$; trovo allora un $q\in]x-\delta,x+\delta[\cap QQ$ e per tale $q$ si ha $x\inI_q$.
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