Carattere somma di serie
Date 2 serie, s e t. Se entrambe convergono la loro somma (s+t) converge. Se, però, una delle 2 diverge allora la loro somma diverge ? Grazie =)
Risposte
si..
"Diverge" che significa? Significa "non converge" o significa "tende a $+\infty$ oppure a $-\infty$"? In ogni caso la risposta alla tua domanda è: boh? Non si può dire nulla se entrambe le serie divergono (in uno qualsiasi dei due significati). Se invece una converge e l'altra no, allora qualcosa si può fare.
Grazie Stefano =)
Per generalizzare ti conviene parlare di regolarità delle serie.
Cioè se due serie sono regolari, allora lo è anche la loro somma.
@dissonance:
mmm..non sono molto d'accordo sulla risposta.
Cioè se due serie divergono entrambe a [tex]$+\infty$[/tex] (o entrambe a [tex]$-\infty$[/tex]),possiamo concludere eccome: possiamo dire che anche la loro somma divergerà a [tex]+\infty[/tex] (o risp. [tex]$-\infty$[/tex])
Detto in termini un pò più matematici:
Prese due serie:
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$[/tex] divergente a [tex]$+\infty$[/tex] (rispettivamente [tex]$-\infty$[/tex])
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} b_n$[/tex] divergente a [tex]$+\infty$[/tex] (rispettivamente [tex]$-\infty$[/tex])
La somma della serie [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n + \sum_{n=0}^{+\infty} b_n= \sum_{n=0}^{+\infty} (a_n + b_n)$[/tex] diverge a [tex]$+\infty$[/tex] (rispettivamente [tex]$-\infty$[/tex]).
Ecco perchè, all'inizio di questo post, ho suggerito di parlare in termini di regolarità delle due serie.
Ti ritrovi?
Cioè se due serie sono regolari, allora lo è anche la loro somma.
@dissonance:
"dissonance":
In ogni caso la risposta alla tua domanda è: boh? Non si può dire nulla se entrambe le serie divergono (in uno qualsiasi dei due significati).
mmm..non sono molto d'accordo sulla risposta.
Cioè se due serie divergono entrambe a [tex]$+\infty$[/tex] (o entrambe a [tex]$-\infty$[/tex]),possiamo concludere eccome: possiamo dire che anche la loro somma divergerà a [tex]+\infty[/tex] (o risp. [tex]$-\infty$[/tex])
Detto in termini un pò più matematici:
Prese due serie:
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$[/tex] divergente a [tex]$+\infty$[/tex] (rispettivamente [tex]$-\infty$[/tex])
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} b_n$[/tex] divergente a [tex]$+\infty$[/tex] (rispettivamente [tex]$-\infty$[/tex])
La somma della serie [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n + \sum_{n=0}^{+\infty} b_n= \sum_{n=0}^{+\infty} (a_n + b_n)$[/tex] diverge a [tex]$+\infty$[/tex] (rispettivamente [tex]$-\infty$[/tex]).
Ecco perchè, all'inizio di questo post, ho suggerito di parlare in termini di regolarità delle due serie.
Ti ritrovi?
Non è detto che se due serie sono regolari allora anche la loro somma lo è: caso $+\infty-\infty$.
"Luca.Lussardi":
Non è detto che se due serie sono regolari allora anche la loro somma lo è: caso $+\infty-\infty$.
Come no?
Forse intendiamo due cose diverse per regolarità di due serie (NB. non di una serie)
"Due serie sono regolari se esiste il limite della successione parziale e non è indeterminato, e la somma deve avere senso in [tex]$R$[/tex]" (cit. mio prof.) (quindi escludiamo il caso che citi).
Quello di regolarità, in effetti, è un concetto che non tutti i docenti danno nello stesso modo.A me, a suo tempo, venne spiegato così (ho ripreso proprio ora gli appunti)
Comunque, a scanso di equivoci,tralasciando il significato di regolarità:
Se due serie convergono entrambe, anche la somma converge.
Se due serie divergono entrambe a [tex]$+\infty$[/tex] (o rispettivamente [tex]$-\infty$[/tex]), anche la somma diverge [tex]$+\infty$[/tex] (o rispettivamente [tex]$-\infty$[/tex])
Trovo assai strano dare una definizione di regolarità per una coppia di serie, non l'ho mai vista, per altro sembra fatto apposta per dar senso alla somma. Io ho sempre trovato che una serie si dice regolare se la somma delle ridotte n-esime è una successione che ammette limite.
"Luca.Lussardi":
Trovo assai strano dare una definizione di regolarità per una coppia di serie, non l'ho mai vista, per altro sembra fatto apposta per dar senso alla somma. Io ho sempre trovato che una serie si dice regolare se la somma delle ridotte n-esime è una successione che ammette limite.
Non so cosa dire.
Anch'io per una serie attribuisco quel significato,invece per due serie mi era stato insegnato questo; e se non vado errato trovai una riflessione del genere anche su un volume di Analisi, che mi impegnerò a cercare.
Se trovo qualcosa a riguardo vi faccio sapere, per ora non metto la mano sul fuoco.. non nascondo che mi è venuto un dubbio..Anche se, voglio dire, non cambia la vita, cioè il concetto basilare è quello, però è bene non creare confusione.
Io sono d'accordo con Luca. Poi mi pare controproducente introdurre troppi termini ad hoc per le serie: parlando di convergenza, regolarità, ... è naturale attendersi che si stia parlando della proprietà corrispondente per la successione delle somme parziali. [size=75](*)[/size]
Fare diversamente porta ad un inutile appesantimento delle notazioni e di conseguenza ad una maggiore probabilità di confusione.
_________________________
(*) Non è ovvio: io potrei voler sommare una serie $sum_{n=0}^\infty a_n$ così:
$a_1+a_0+a_3+a_2+a_5+a_4+...$;
oppure così:
$lim_{n \to \infty} \frac{a_0+a_1+...+a_n}{n}$;
e allora dovrei introdurre un nuovo concetto di somma parziale, e di conseguenza una nuova nozione di convergenza e di regolarità. Ma sempre mutuata dall'analoga nozione per il comportamento al limite delle successioni.
Fare diversamente porta ad un inutile appesantimento delle notazioni e di conseguenza ad una maggiore probabilità di confusione.
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(*) Non è ovvio: io potrei voler sommare una serie $sum_{n=0}^\infty a_n$ così:
$a_1+a_0+a_3+a_2+a_5+a_4+...$;
oppure così:
$lim_{n \to \infty} \frac{a_0+a_1+...+a_n}{n}$;
e allora dovrei introdurre un nuovo concetto di somma parziale, e di conseguenza una nuova nozione di convergenza e di regolarità. Ma sempre mutuata dall'analoga nozione per il comportamento al limite delle successioni.
Secondo me, stiamo un po' fraintendendo la richiesta di pitrineddu:
In pratica sta chiedendo questo:
Se [tex]$s:=\sum_{n=0}^\infty s_n=L\in\mathbb{R}[/tex] e [tex]$t:=\sum_{n=0}^\infty t_n=\infty[/tex] cosa possiamo dire della somma:
[tex]$s+t =\sum_{n=0}^\infty s_n + \sum_{n=0}^\infty t_n[/tex] ?
Almeno, io ho interpretato in questo modo
[Edit]: Vedi dopo, cattiva interpretazione del testo
In pratica sta chiedendo questo:
Se [tex]$s:=\sum_{n=0}^\infty s_n=L\in\mathbb{R}[/tex] e [tex]$t:=\sum_{n=0}^\infty t_n=\infty[/tex] cosa possiamo dire della somma:
[tex]$s+t =\sum_{n=0}^\infty s_n + \sum_{n=0}^\infty t_n[/tex] ?
Almeno, io ho interpretato in questo modo
[Edit]: Vedi dopo, cattiva interpretazione del testo
Lui dice solo "una delle due diverge", non dice che "una delle due diverge e l'altra converge".
Sì hai ragione Luca 
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