Carattere serie:passaggio corretto?
Data la seguente serie:
$sum_{n=1}^oo log(1+1/n)*x^n$ con $x in RR$
devo studiarne il carattere ma ho un dubbio su passaggio se è o non è lecito.
La serie è a termini positivi.
Ora la seguente serie soddisfa il criterio necessario di convergenza quando $|x|^n$ risulta limitato ovvero quando $-1<=x<=1$
per $x=1$ la serie converge: $sum_{n=1}^oo log(1+1/n)$ confrontiamola con la serie armonica $sum_{n=1}^oo 1/n$
$lim_(n to oo) log(1+1/n)/(1/n)$ ora rimandiamolo dopo ovvie premesse al limite $lim_(x to oo) log(1+x)/x=1$ quindi la serie data per $x=1$ per il criterio del confronto converge.
invece per $x=-1$ la serie diventa: $sum_{n=1}^oo (-1)^n*log(1+1/n)$ che per il criterio di Leibniz converge perche $a_n$ risulta infinitesima e non crescente.
ora il mio dubbio è il seguente: posso applicare il criterio del rapporto alla serie di partenza? diventando così:
$lim_(n to oo) (log(1+1/(n+1))*x^(n+1))/(log(1+1/n)*x^n)=x$
così la serie converge per $x<=1$
$sum_{n=1}^oo log(1+1/n)*x^n$ con $x in RR$
devo studiarne il carattere ma ho un dubbio su passaggio se è o non è lecito.
La serie è a termini positivi.
Ora la seguente serie soddisfa il criterio necessario di convergenza quando $|x|^n$ risulta limitato ovvero quando $-1<=x<=1$
per $x=1$ la serie converge: $sum_{n=1}^oo log(1+1/n)$ confrontiamola con la serie armonica $sum_{n=1}^oo 1/n$
$lim_(n to oo) log(1+1/n)/(1/n)$ ora rimandiamolo dopo ovvie premesse al limite $lim_(x to oo) log(1+x)/x=1$ quindi la serie data per $x=1$ per il criterio del confronto converge.
invece per $x=-1$ la serie diventa: $sum_{n=1}^oo (-1)^n*log(1+1/n)$ che per il criterio di Leibniz converge perche $a_n$ risulta infinitesima e non crescente.
ora il mio dubbio è il seguente: posso applicare il criterio del rapporto alla serie di partenza? diventando così:
$lim_(n to oo) (log(1+1/(n+1))*x^(n+1))/(log(1+1/n)*x^n)=x$
così la serie converge per $x<=1$
Risposte
"mazzy89":
Data la seguente serie:
$sum_{n=1}^oo log(1+1/n)*x^n$ con $x in RR$
devo studiarne il carattere ma ho un dubbio su passaggio se è o non è lecito.
La serie è a termini positivi.
Ora la seguente serie soddisfa il criterio necessario di convergenza quando $|x|^n$ risulta limitato ovvero quando $-1<=x<=1$.
Esatto, quindi per $|x|>1$ non c'è convergenza.
"mazzy89":
per $x=1$ la serie converge: $sum_{n=1}^oo log(1+1/n)$ confrontiamola con la serie armonica $sum_{n=1}^oo 1/n$
$lim_(n to oo) log(1+1/n)/(1/n)$ ora rimandiamolo dopo ovvie premesse al limite $lim_(x to oo) log(1+x)/x=1$ quindi la serie data per $x=1$ per il criterio del confronto converge.
Qui sbagli proprio tanto.
Infatti il limite che hai scritto ti dice che la tua serie si comporta come la serie armonica $\sum 1/n$ che, come di certo saprai, diverge positivamente.
"mazzy89":
invece per $x=-1$ la serie diventa: $sum_{n=1}^oo (-1)^n*log(1+1/n)$ che per il criterio di Leibniz converge perche $a_n$ risulta infinitesima e non crescente.
Ok.
Ora rimane da capire cosa succede per $-1
"mazzy89":
ora il mio dubbio è il seguente: posso applicare il criterio del rapporto alla serie di partenza? diventando così:
$lim_(n to oo) (log(1+1/(n+1))*x^(n+1))/(log(1+1/n)*x^n)=x$
così la serie converge per $x<=1$
Certo che va bene applicare il criterio del rapporto... Però devi tener presente che per $-1
Quindi il criterio del rapporto va applicato come criterio di convergenza assoluta, ossia nella forma $lim_n |a_(n+1)|/|a_n|$.
per $x=1$ la serie converge: $sum_{n=1}^oo log(1+1/n)$ confrontiamola con la serie armonica $sum_{n=1}^oo 1/n$
$lim_(n to oo) log(1+1/n)/(1/n)$ ora rimandiamolo dopo ovvie premesse al limite $lim_(x to oo) log(1+x)/x=1$ quindi la serie data per $x=1$ per il criterio del confronto converge.
Qui ovviamente stavo pensando agli uccellini che volano in cielo. E' ovvio che diverge.E' stato un errore di battittura.E' risaputo che la serie $sum_{n=1}^oo 1/n$ diverge lo sanno anche le mattonelle
"mazzy89":
$lim_(n to oo) log(1+1/n)/(1/n)$ ora rimandiamolo dopo ovvie premesse al limite $lim_(x to oo) log(1+x)/x=1$ quindi la serie data per $x=1$ per il criterio del confronto converge
Attenzione a quando dici che
$lim_(x to oo) log(1+x)/x=1$
$x$ tende in realtà a $0$ e non ad infinito.
Un'altra considerazione di tipo notazionale: quando effettui una sostituzione è preferibile utilizzare, per la variabile ausiliaria, un simbolo che non è già apparso prima, che ne so $t$, $z$. In questo caso il simbolo $x$ è usato per indicare il parametro della serie
"Mathematico":
[quote="mazzy89"]
$lim_(n to oo) log(1+1/n)/(1/n)$ ora rimandiamolo dopo ovvie premesse al limite $lim_(x to oo) log(1+x)/x=1$ quindi la serie data per $x=1$ per il criterio del confronto converge
Attenzione a quando dici che
$lim_(x to oo) log(1+x)/x=1$
$x$ tende in realtà a $0$ e non ad infinito.
Un'altra considerazione di tipo notazionale: quando effettui una sostituzione è preferibile utilizzare, per la variabile ausiliaria, un simbolo che non è già apparso prima, che ne so $t$, $z$. In questo caso il simbolo $x$ è usato per indicare il parametro della serie
[/quote]Si giusto ho effettuato un cambio di parametro quindi dovevo sostutuire anche il valore per cui tende $x$.si grazie per la dritta
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo