Carattere serie parametro a segni alterni

[Esy59]

Ciao... ho questo esercizio
Studiare al variare del parametro $a $ appartenente a $R $ il carattere e dove possibile calcolare la somma
$\sum_{n=1}^+infty [(-1^n)*((a^2-2)/(a+4))^n] $
So che è una serie a segni alterni e per tale motivo se
$|(a^2-2)/(a+4)^n|$ converge anche la serie A segni alterni converge...
È corretto quindi svolgere l'esercizio considerando solo$ (a^2-2)/(a+4)^n$ ponendo lo
compreso tra $-1 e 1$
per trovare i valori di $a $ per i quali converge,
$>=1$ così trovo i valori del parametro per i quali diverge????
Oppure devo proseguire in altro modo ??? Grazie!

[pilloeffe]

Ciao Esy59,

Riscriviamola bene:

$\sum_{n=1}^{+infty} (-1)^n ((a^2-2)/(a+4))^n = \sum_{n=1}^{+infty} ((2 - a^2)/(a+4))^n = \sum_{n=0}^{+infty} ((2 - a^2)/(a+4))^n - 1 $

Posto $t := (2 - a^2)/(a+4) $, l'ultima serie scritta è una serie geometrica che converge a $1/(1 - t)$ per $|t| < 1 $, cioè a $frac{1}{1 - (2 - a^2)/(a+4)} = frac{a + 4}{a^2 + a + 2} $ per $|(2 - a^2)/(a+4)| < 1$.

In definitiva si ha:

$\sum_{n=1}^{+infty} (-1)^n ((a^2-2)/(a+4))^n = frac{a + 4}{a^2 + a + 2} - 1 = frac{2 - a^2}{a^2 + a + 2} \qquad \text{per } - 2 < a < 3 $