Carattere serie parametrica ed esponenziale
Ciao... devo studiare il carattere del parametro $a$ al variare apparente a $R$ il carattere della serie
$\sum_{n=1}^infty (a^(2n)/n^2)$
Con il criterio della radice avrò
$(a^2/n)$
Allora per convergere dovrà essere $<1$ Quindi $a^2/n<1$, ovvero $a^2(-n) $ per il criterio della radice... non so se sto procedendo in maniera corretta (molto probabilmente no!) Infatti non so come continuare. ..mi aiuterete per favore , grazie
$\sum_{n=1}^infty (a^(2n)/n^2)$
Con il criterio della radice avrò
$(a^2/n)$
Allora per convergere dovrà essere $<1$ Quindi $a^2/n<1$, ovvero $a^2
Risposte
Hai sbagliato ad applicare il criterio della radice. Applicalo come si deve e il risultato è facile.
Ciao Esy59,
A parte che naturalmente ha ragione dissonance, nel caso in esame è più semplice procedere col criterio del rapporto...
A parte che naturalmente ha ragione dissonance, nel caso in esame è più semplice procedere col criterio del rapporto...
Ho provato anche il criterio del rapporto,
$[a^(2 (n+1))/(n+1)^2]/[a^(2n)/n^2]=(a^2n^2)/(n+1)^2$ il lim per $n $ che tende a $+infty $ è pari ad $a^2$
Quindi convergera per $a <+-1$ divergente per $a >= 1$
$[a^(2 (n+1))/(n+1)^2]/[a^(2n)/n^2]=(a^2n^2)/(n+1)^2$ il lim per $n $ che tende a $+infty $ è pari ad $a^2$
Quindi convergera per $a <+-1$ divergente per $a >= 1$
Manca ancora una cosa.
NO! Devi leggere meglio la teoria. Il criterio del rapporto non dice nulla se il limite è 1, in quel caso devi verificare a mano cosa succede. Puoi solo dire che la serie è divergente per \(a>1\).
divergente per \(a\ge 1\)
NO! Devi leggere meglio la teoria. Il criterio del rapporto non dice nulla se il limite è 1, in quel caso devi verificare a mano cosa succede. Puoi solo dire che la serie è divergente per \(a>1\).
$2$ a $0$ per dissonance...
Infatti, verificando a mano, si vede subito che per $a = - 1$ e per $a = 1$ la serie converge, ottenendo in entrambe i casi (per via del quadrato) la ben nota serie armonica generalizzata con $\alpha = 2 $:
$sum_{n=1}^infty 1/n^2 $
che, essendo la serie proposta convergente per $a^2 \le 1 $, ci fornisce anche una semplice limitazione superiore:
$ sum_{n=1}^infty frac{a^(2n)}{n^2} \le sum_{n=1}^infty 1/n^2 = frac{\pi^2}{6} $
Infatti, verificando a mano, si vede subito che per $a = - 1$ e per $a = 1$ la serie converge, ottenendo in entrambe i casi (per via del quadrato) la ben nota serie armonica generalizzata con $\alpha = 2 $:
$sum_{n=1}^infty 1/n^2 $
che, essendo la serie proposta convergente per $a^2 \le 1 $, ci fornisce anche una semplice limitazione superiore:
$ sum_{n=1}^infty frac{a^(2n)}{n^2} \le sum_{n=1}^infty 1/n^2 = frac{\pi^2}{6} $
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