Carattere Serie Numeriche
Rieccomi , stavolta ho un problema con un paio di serie.
la prima è $sin(n^2 * \frac {pi}{2})$
con n pari è sempre uguale a 0
con n dispari è sempre uguale a 1
intuitivamente direi che diverge positivamente , ma come faccio a dimostrarlo ?
mentra la seconda $n^a * [(1+ \frac {1}{n^2})^pi -1]$ con a appartenente ai reali
ho provato col criterio del rapporto e di raabe. In entrambi i casi non si riesce a stabilire il carattere.
la prima è $sin(n^2 * \frac {pi}{2})$
con n pari è sempre uguale a 0
con n dispari è sempre uguale a 1
intuitivamente direi che diverge positivamente , ma come faccio a dimostrarlo ?
mentra la seconda $n^a * [(1+ \frac {1}{n^2})^pi -1]$ con a appartenente ai reali
ho provato col criterio del rapporto e di raabe. In entrambi i casi non si riesce a stabilire il carattere.
Risposte
per quanto riguarda la prima non è infinitesima quindi non sussiste la condizione necessaria e quindi non converge..
per cui nella prima serie basta dire che non è valida la condizione necessaria per la convergenza (limite diverso da 0) ?
up!
ri-up!
mi unisco anch'io.... e come facciamo quindi a capire il carattere della serie visto che è inutile applicare sia il criterio della convergenza assoluta e quindi una eventuale maggiorazione in futuro, sia leibinitz visto che non siamo in grado di determinare an "per caso oscilla?"
"Ichigo":
Rieccomi , stavolta ho un problema con un paio di serie.
la prima è $sin(n^2 * \frac {pi}{2})$
con n pari è sempre uguale a 0
con n dispari è sempre uguale a 1
intuitivamente direi che diverge positivamente , ma come faccio a dimostrarlo ?
"Ichigo":
nella prima serie basta dire che non è valida la condizione necessaria per la convergenza (limite diverso da 0) ?
Certo... Altrimenti il nome condizione necessaria a che servirebbe?
"Ichigo":
mentra la seconda $n^a * [(1+ \frac {1}{n^2})^pi -1]$ con $a$ appartenente ai reali
ho provato col criterio del rapporto e di raabe. In entrambi i casi non si riesce a stabilire il carattere.
Come al solito, basta giocare un po' con gli ordini d'infinitesimo.
Visto il limite fondamentale $lim_(x\to 0) ((1+x)^alpha-1)/x=alpha$, hai:
$lim_n ((1+ \frac {1}{n^2})^pi -1)/(1/n^2)=pi$
ossia $(1+ \frac {1}{n^2})^pi -1~~pi/n^2$ (oppure $(1+ \frac {1}{n^2})^pi -1 = pi/n^2+"o"(1/n^2)$, come piace di più a te); pertanto la successione dei tuoi addendi è asintoticamente equivalente a $pi/n^(2-a)$ e, per risolvere l'esercizio, basta tenere a mente il comportamento della serie armonica generalizzata.
non ho capito bene cosa hai fatto , per il confronto asintotico non si dovrebbe calcolare il limite tendente a infinito ?
Visto che $lim_n 1/n^2=0$, posso sostituire $x=1/n^2$ nel limite fondamentale $lim_(x\to 0) ((1+x)^alpha-1)/x=alpha$...
ok ,scusami ma nella fretta mi è sfuggita questa sostituzione... ancora grazie di tutto!
ok ,in definitiva se $a>= 1$ diverge , se $a<1$ allora la serie converge
Esatto. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo