Carattere serie numeriche
prima serie
$ sum sqrt(n!)/(sqrt(n))^n $
l'unica cosa che mi viene in mente è riscriverla così $ sum (sqrt(n-1)*sqrt(n))/(sqrt(n))^n $
si potrebbe applicare il criterio della radice? ci ho provato, ma non riesco ad uscirne
seconda serie
$ sum sin(1/(n!)) $
$ sin(1/(n!)) ~ (1/(n!) ) $
quindi si tratterebbe di studiare questa serie $ sum(1/(n!) ) $
simile alla serie armonica
la terza serie è questa
$ sum sin((pi n-6)/(n+1)) $
$ sin((pi n-6)/(n+1))~((pi n-6)/(n+1)) $
quindi studiamo la serie
$ sum ((pi n-6)/(n+1)) $
il termine generale lo scrivo così
$ ((pi-6/n)/(1+1/n)) $
facendo tendere il termine generale An a più infinito ottengo pi greco. cioè in pratica ho solo risolto il limite, ma che informazione ottengo? presumo che non sia la strada giusta.
grazie per l'attenzione e se ci sono errori grossolani siete autorizzati a fucilarmi
$ sum sqrt(n!)/(sqrt(n))^n $
l'unica cosa che mi viene in mente è riscriverla così $ sum (sqrt(n-1)*sqrt(n))/(sqrt(n))^n $
si potrebbe applicare il criterio della radice? ci ho provato, ma non riesco ad uscirne
seconda serie
$ sum sin(1/(n!)) $
$ sin(1/(n!)) ~ (1/(n!) ) $
quindi si tratterebbe di studiare questa serie $ sum(1/(n!) ) $
simile alla serie armonica
la terza serie è questa
$ sum sin((pi n-6)/(n+1)) $
$ sin((pi n-6)/(n+1))~((pi n-6)/(n+1)) $
quindi studiamo la serie
$ sum ((pi n-6)/(n+1)) $
il termine generale lo scrivo così
$ ((pi-6/n)/(1+1/n)) $
facendo tendere il termine generale An a più infinito ottengo pi greco. cioè in pratica ho solo risolto il limite, ma che informazione ottengo? presumo che non sia la strada giusta.
grazie per l'attenzione e se ci sono errori grossolani siete autorizzati a fucilarmi
Risposte
non è vero che $n! =n(n-1)$
$n! =n(n-1)(n-2)cdot....cdot2cdot1$
per la prima io userei il criterio del rapporto
nella terza serie quell'equivalenza asintotica è falsa perchè l'argomento del seno non tende a zero
puoi però utilizzare il seguente risultato :
$ lim_(x -> pi) (senx)/(pi-x)=1 $
$n! =n(n-1)(n-2)cdot....cdot2cdot1$
per la prima io userei il criterio del rapporto
nella terza serie quell'equivalenza asintotica è falsa perchè l'argomento del seno non tende a zero
puoi però utilizzare il seguente risultato :
$ lim_(x -> pi) (senx)/(pi-x)=1 $
grazie per la risposta...
scriverla così quindi
$ n! = n(n-1)!$
corretto?
provo con il criterio del rapporto.
per quanto riguarda la terza come giustamente fai notare l'argomento non tende a zero, quindi che equivalenza asintotica si può dare per fare il criterio del confronto? mi sembra l'unico che può andare EDIT: ora ho visto che hai aggiunto!
scriverla così quindi
$ n! = n(n-1)!$
corretto?
provo con il criterio del rapporto.
per quanto riguarda la terza come giustamente fai notare l'argomento non tende a zero, quindi che equivalenza asintotica si può dare per fare il criterio del confronto? mi sembra l'unico che può andare EDIT: ora ho visto che hai aggiunto!
ho provato a risolverla con il criterio del rapporto : se ne esce vivi 
ad un certo punto avrai a che fare con il limite notevole(camuffato) $ lim_(n -> +infty) (1+1/n)^n=e $
ad un certo punto avrai a che fare con il limite notevole(camuffato) $ lim_(n -> +infty) (1+1/n)^n=e $
si risolve senza problema con il criterio del rapporto, mi trovato con
$ (sqrt (n/(n+1)))^(n) $
poi il risultato finale $1/(sqrt e) $ che è quindi <1 e quindi la serie converge, giusto?
ora mi riguardo le altre due.... grazie ancora
$ (sqrt (n/(n+1)))^(n) $
poi il risultato finale $1/(sqrt e) $ che è quindi <1 e quindi la serie converge, giusto?
ora mi riguardo le altre due.... grazie ancora
La seconda e la terza restano ancora irrisolte 
Per studiare la convergenza della serie $\sum 1/{n!}$ (che NON è affatto simile alla serie armonica) basta usare il criterio del rapporto.
Per la terza serie proposta, osserva che puoi scrivere
$$\frac{\pi n-6}{n+1}=\pi\cdot\frac{n-6/\pi}{n+1}=\pi\cdot\frac{n+1-1-\pi/6}{n+1}=\pi\left(1-\frac{1+6/\pi}{n+1}\right)=\pi-\pi\frac{1+6/\pi}{n+1}$$
e dal momento che $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$ il termine generale si scrive come
$$\sin\left(\pi-\pi\frac{1+6/\pi}{n+1}\right)=\sin\left(\pi\frac{1+6/\pi}{n+1}\right)\sim\pi\frac{1+6/\pi}{n+1}$$
da cui puoi dedurre che la serie di partenza ha lo stesso comportamento della serie armonica e quindi diverge.
Per la terza serie proposta, osserva che puoi scrivere
$$\frac{\pi n-6}{n+1}=\pi\cdot\frac{n-6/\pi}{n+1}=\pi\cdot\frac{n+1-1-\pi/6}{n+1}=\pi\left(1-\frac{1+6/\pi}{n+1}\right)=\pi-\pi\frac{1+6/\pi}{n+1}$$
e dal momento che $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$ il termine generale si scrive come
$$\sin\left(\pi-\pi\frac{1+6/\pi}{n+1}\right)=\sin\left(\pi\frac{1+6/\pi}{n+1}\right)\sim\pi\frac{1+6/\pi}{n+1}$$
da cui puoi dedurre che la serie di partenza ha lo stesso comportamento della serie armonica e quindi diverge.
grazie mille ciampax
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo