Carattere serie numerica log
Stavo provando a determinare il carattere della serie $ \sum_{n=1}^inftylog \frac{n+2}{n+4}$ tramite criterio della radice
$lim_(x to infty) (log \frac{n+2}{n+4})^(1/n)$
(il log è sotto radice..ma non ricordando la sintassi corretta ho ovviato... )
Mi servirebbe una mano perchè non riesco a sbrogliarmi e a trovare un valore finito per poter dire il carattere...
$lim_(x to infty) 1/n (log (n+2) - log (n+4))=0(+infty-infty)$
in mente avrei anche
$lim_(x to infty) \frac{log (n+2)}{n} - \frac{log (n+4)}{n}$ e tramite confronto asintotico avrei $ 0 - 0=0$ da cui si deduce se fosse corretto che la serie converge!
$lim_(x to infty) (log \frac{n+2}{n+4})^(1/n)$
(il log è sotto radice..ma non ricordando la sintassi corretta ho ovviato... )
Mi servirebbe una mano perchè non riesco a sbrogliarmi e a trovare un valore finito per poter dire il carattere...
$lim_(x to infty) 1/n (log (n+2) - log (n+4))=0(+infty-infty)$
in mente avrei anche
$lim_(x to infty) \frac{log (n+2)}{n} - \frac{log (n+4)}{n}$ e tramite confronto asintotico avrei $ 0 - 0=0$ da cui si deduce se fosse corretto che la serie converge!
Risposte
Guarda che stai scrivendo una sciocchezza: se applichi il criterio della radice scrivi [tex]$(\log a)^{1/n}$[/tex] ma non puoi portare l'espiente davanti al logaritmo: quello è vero se avessi scritto [tex]$\log(a^{1/n})=\frac{1}{n}\log a$[/tex]
giusto...mi suggerisci la retta via perfavore? XD
qualsiasi cosa penso mi ritrovo davanti a forme di indeterminazione!
qualsiasi cosa penso mi ritrovo davanti a forme di indeterminazione!
Hai provato a vedere cosa succede alle somme ridotte?
[tex]$s_N=\sum_{n=1}^N\log\frac{n+2}{n+4}=\sum_{n=1}^n\log(n+2)-\sum_{n=1}^N\log(n+4)$[/tex]
e se fai un po' di conti, questa roba la riesci a scrivere in modo semplice.
[tex]$s_N=\sum_{n=1}^N\log\frac{n+2}{n+4}=\sum_{n=1}^n\log(n+2)-\sum_{n=1}^N\log(n+4)$[/tex]
e se fai un po' di conti, questa roba la riesci a scrivere in modo semplice.
Oppure...
$ \sum_{n=1}^inftylog ( 1 - \frac{2}{n+4} )$
$ \sum_{n=1}^inftylog ( 1 - \frac{2}{n+4} )$
entrambe tendono all'infinito... con velocità differeti....
$ \sum_{n=1}^inftylog (n+4)$ è più veloce di $ \sum_{n=1}^inftylog (n+2)$
ma anche in questo caso il valore dei loro limiti non è finito!
Per come invece me l'ha buttata seneca,
$\lim_(x to infty) (log ( 1 - \frac{2}{n+4} ))^(1/n)=0^(1/infty)$
$ \sum_{n=1}^inftylog (n+4)$ è più veloce di $ \sum_{n=1}^inftylog (n+2)$
ma anche in questo caso il valore dei loro limiti non è finito!
"Seneca":
Oppure...
$ \sum_{n=1}^inftylog ( 1 - \frac{2}{n+4} )$
Per come invece me l'ha buttata seneca,
$\lim_(x to infty) (log ( 1 - \frac{2}{n+4} ))^(1/n)=0^(1/infty)$
Ma nooooooo!!!!!! Quello che devi fare è questo:
[tex]$s_N=\sum_{n=1}^n\log(n+2)-\sum_{n=1}^N\log(n+4)=\sum_{n=1}^N\log(n+2)-\sum_{n=3}^{N+2}\log(n+2)=$[/tex]
[tex]$=\log 3+\log 4+\sum_{n=3}^N\log(n+2)-\sum_{n=3}^{N}\log(n+2)-\log(N+3)-\log(N+4)$[/tex]
per cui
[tex]$s_N=\log 3+\log 4-\log(N+3)-\log(N+4)=\log\frac{12}{(N+3)(N+4)}$[/tex]
e quindi [tex]$\lim_{N\to+\infty} s_N=-\infty$[/tex] e la serie diverge.
Tra l'altro, il criterio della radice non lo puoi usare come stai facendo, in quanto i valori del logaritmo sono definitivamente negativi! Quindi prima devi cambiare di segno.
[tex]$s_N=\sum_{n=1}^n\log(n+2)-\sum_{n=1}^N\log(n+4)=\sum_{n=1}^N\log(n+2)-\sum_{n=3}^{N+2}\log(n+2)=$[/tex]
[tex]$=\log 3+\log 4+\sum_{n=3}^N\log(n+2)-\sum_{n=3}^{N}\log(n+2)-\log(N+3)-\log(N+4)$[/tex]
per cui
[tex]$s_N=\log 3+\log 4-\log(N+3)-\log(N+4)=\log\frac{12}{(N+3)(N+4)}$[/tex]
e quindi [tex]$\lim_{N\to+\infty} s_N=-\infty$[/tex] e la serie diverge.
Tra l'altro, il criterio della radice non lo puoi usare come stai facendo, in quanto i valori del logaritmo sono definitivamente negativi! Quindi prima devi cambiare di segno.
O_O???
...mi ritiro per deliberare....
...mi ritiro per deliberare....
"ansioso":
[quote="Seneca"]Oppure...
$ \sum_{n=1}^inftylog ( 1 - \frac{2}{n+4} )$
Per come invece me l'ha buttata seneca,
$\lim_(x to infty) (log ( 1 - \frac{2}{n+4} ))^(1/n)=0^(1/infty)$[/quote]
Constatato che la tua serie è a termini negativi, quello che consigliavo io era il criterio dell'ordine di infinitesimo.
Si vede subito che $log( 1 - 2/(n + 4 ) )/(- 1/n) -> alpha in RR - {0}$ per $n -> +oo$ , quindi...
- Se ti è più semplice. Altrimenti segui i consigli di Ciampax -
mi sono prese qualche ora per studiare meglio... risultato e che quella serie mi converge usando il criterio del rapporto!
Infatti ottengo dopo qualche passaggio
$e^( \lim_(x to infty) log \ \frac{n+3}{n+5}) \ - \ e^(\lim_(x to infty) log \ \frac{n+2}{n+4})= 1 - 1 =0\ < 1$
Infatti ottengo dopo qualche passaggio
$e^( \lim_(x to infty) log \ \frac{n+3}{n+5}) \ - \ e^(\lim_(x to infty) log \ \frac{n+2}{n+4})= 1 - 1 =0\ < 1$
"ansioso":
mi sono prese qualche ora per studiare meglio... risultato e che quella serie mi converge usando il criterio del rapporto!
Infatti ottengo dopo qualche passaggio
$e^( \lim_(x to infty) log \ \frac{n+3}{n+5}) \ - \ e^(\lim_(x to infty) log \ \frac{n+2}{n+4})= 1 - 1 =0\ < 1$
Mah... Dopo qualche passaggio, quale?
XD quello che non mi andava di scrivere xkè ci avrei perso 3 ore XD
$\lim_(x to infty) \frac{log \frac{n+3}{n+5}}{log \frac{n+2}{n+4}}$
dato che non hai segnalato altro... credo di aver fatto giusto vero?
$\lim_(x to infty) \frac{log \frac{n+3}{n+5}}{log \frac{n+2}{n+4}}$
dato che non hai segnalato altro... credo di aver fatto giusto vero?
Veramente... $\lim_(n to infty) \frac{log \frac{n+3}{n+5}}{log \frac{n+2}{n+4}} = 1$
Decisamente no, quella serie diverge e già te lo ha detto Ciampax.
Tra l'altro, da me quel limite fa 1, non so cos'hai combinato per riuscire a farlo diventare 0, ma riguarda i passaggi ti prego!
Tra l'altro, da me quel limite fa 1, non so cos'hai combinato per riuscire a farlo diventare 0, ma riguarda i passaggi ti prego!
aspetta che non ti seguo...
$e^(\lim_(x to infty ) log((n+3)/(n+5)))=e^0$ ho considerato gli esponenti di grado massimo...
stessa cosa per l'altro logaritmo...
mi ritorna $1-1=0$
$e^(\lim_(x to infty ) log((n+3)/(n+5)))=e^0$ ho considerato gli esponenti di grado massimo...
stessa cosa per l'altro logaritmo...
mi ritorna $1-1=0$
Non si capisce da dov'è saltata fuori quella $e$... Il limite si presenta nella forma indeterminata $[0/0]$.
volevo eliminare il log... passaggio "automatizzato" xkè gli ultimi eser che ho fatto erano tutti del tipo $log(sdfasd)^x$.... quindi derivate... e mi ritrovo! ok! Thanks
se dovevo eliminare il log avrei dovuto tipo far questo $\lim_(x to infty) \frac{e^(log \frac{n+3}{n+5})}{e^(log \frac{n+2}{n+4})}$
e da qui considerare gli esponenti di grado massimo... $1/1=1$
ma è la stessa cosa che usare le derivate
e da qui considerare gli esponenti di grado massimo... $1/1=1$
ma è la stessa cosa che usare le derivate
"ansioso":
se dovevo eliminare il log avrei dovuto tipo far questo $\lim_(x to infty) \frac{e^(log \frac{n+3}{n+5})}{e^(log \frac{n+2}{n+4})}$ ma è la stessa cosa
Che ti posso dire? Hai delle lacune spaventose sul calcolo dei limiti.
why? sto cercando di capire per migliorare...
E me lo domandi pure?
Credi che $lim_n (log(( n + 3)/(n+ 5)))/( log(( n + 2)/(n+ 4))) = lim_n e^(log(( n + 3)/(n+ 5)))/e^( log(( n + 2)/(n+ 4)))$ ?
Credi che $lim_n (log(( n + 3)/(n+ 5)))/( log(( n + 2)/(n+ 4))) = lim_n e^(log(( n + 3)/(n+ 5)))/e^( log(( n + 2)/(n+ 4)))$ ?