Carattere Serie numerica

[qwert90]

ho la serie numerica
$\sum_{n=1}^(+infty) log(n+1)$

posso dire che questa serie è divergente?

[pater46]

il termine generale non è infinitesimo...

[qwert90]

okok allora poichè il termine generale non è infinitesimo posso dire che non è covnergente....
vero?

[pater46]

Si, in questo caso diverge positivamente. La convergenza del termine generale è una condizione necessaria per la convergenza di qualsiasi serie ( sia a termini positivi che a termini di segni alterno che a termini di segno qualsiasi ).

[qwert90]

grazie mille

[regim]

E se il logaritmo fosse stato a denominatore? come la mettiamo?

[qwert90]

beh il termine generale sarebbe stato infinitesimo e quindi la serie convergente?

[gugo82]

Ma anche no...

Guarda bene: come va a zero [tex]$\frac{1}{\ln (1+n)}$[/tex]?

[qwert90]

in che senso... non è infintesimo quindi?

[gugo82]

La successione [tex]$\frac{1}{\ln (1+n)}$[/tex] è infinitesima, ma la questione è: quanto velocemente va a zero?

[faximusy]

"qwert90":beh il termine generale sarebbe stato infinitesimo e quindi la serie convergente?

Questa è infatti solo la condizione necessaria, ma non è sufficiente

[regim]

"gugo82":La successione [tex]$\frac{1}{\ln (1+n)}$[/tex] è infinitesima, ma la questione è: quanto velocemente va a zero?

Comunque, come ti ha indicato Gugo e faximusy, anche questa serie diverge.

A me sembrava troppo scontata la serie iniziale, sicuro qwerty fosse proprio quella? e non quella che ti ho proposto io?

Comunque, a me viene naturale questo approccio(mi complico la vita ), sarà perchè mi piace il criterio di condensazione di cauchy:

1) In primis ti accorgi, mediante un confronto asintotico, che la serie ha il carattere di quella i cui termini sono espressi da: $1/log(n)$, qui stai attento però! scegliendo più oculatamente la serie del confronto, ti fermavi al punto uno, come ti ha indicato Gugo.
(Questo criterio è applicabile spessissimo, e con ottimi risultati, ti consente di ricondurre lo studio di una serie(il carattere) ad un altra.)

2) Poi a quest'ultima applichi il criterio di condensazione, che ti rimanda a studiare la serie i cui termini sono $2^n/log(2^n)$
(Questo criterio lo puoi applicare solo per le serie i cui termini formano una successione decrescente tendente ovviamente zero, è chiaro che è a termini positivi)

3) Infine applichi il criterio della radice e il limite ti viene $2$ che essendo maggiore di $1$ indica che diverge, andando a ritroso ti accorgi che la tua serie non converge, e, anzi, diverge a più infinito, naturalmente.

[faximusy]

"regim":[quote="gugo82"]La successione [tex]$\frac{1}{\ln (1+n)}$[/tex] è infinitesima, ma la questione è: quanto velocemente va a zero?

Comunque, come ti ha indicato Gugo e faximusy, anche questa serie diverge.

A me sembrava troppo scontata la serie iniziale, sicuro qwerty fosse proprio quella? e non quella che ti ho proposto io?

Comunque, a me viene naturale questo approccio(mi complico la vita ), sarà perchè mi piace il criterio di condensazione di cauchy:

1) In primis ti accorgi, mediante un confronto asintotico, che la serie ha il carattere di quella i cui termini sono espressi da: $1/log(n)$, qui stai attento però! scegliendo più oculatamente la serie del confronto, ti fermavi al punto uno, come ti ha indicato Gugo.
(Questo criterio è applicabile spessissimo, e con ottimi risultati, ti consente di ricondurre lo studio di una serie(il carattere) ad un altra.)

2) Poi a quest'ultima applichi il criterio di condensazione, che ti rimanda a studiare la serie i cui termini sono $2^n/log(2^n)$
(Questo criterio lo puoi applicare solo per le serie i cui termini formano una successione decrescente tendente ovviamente zero, è chiaro che è a termini positivi)

3) Infine applichi il criterio della radice e il limite ti viene $2$ che essendo maggiore di $1$ indica che diverge, andando a ritroso ti accorgi che la tua serie non converge, e, anzi, diverge a più infinito, naturalmente.[/quote]


Forse si poteva anche dire che $2^n/(nlog2)$ diverge, e quindi diverge anche la serie in esame; cioè senza applicare anche la radice

[regim]

"faximusy":
Forse si poteva anche dire che $2^n/(nlog2)$ diverge, e quindi diverge anche la serie in esame; cioè senza applicare anche la radice

Già, sicuramente!