Carattere serie numerica

[tommyr22-votailprof]

salve.Ho un problema con questa serie.
$\sum_{n=1}^oo e^(1/n!) tang^2(1/sqrt(n)) $

allora innanzitutto non mi serve il risultato ma bensì capire il procedimento nello studio del carattere di questa serie.
Inizialmente devo vedere se la serie è a termini positivi,alterni o variabili per applicare i vari criteri e procedere in modo diverso,però quì ho un problema banale cioè non riesco a capire sempre se la serie è a termini positivi come questa...come procedo per capire il segno?(disequazione?)
una volta capita che la serie è a termini positivi applico il criterio del confronto asintotico in questo caso e viene:
$(e^1/n!) tang^2(1/sqrt(n))/(tang^2(1/sqrt(n))$=$e^(1/n!)$=$1$

quindi adesso devo calcolareil carattere della serie
$\sum_{n=1}^oo tang^2(1/sqrt(n)) $

ma quì ho problemi, non riesco con nessun metodo a trovare il carattere.
Nella soluzione il mio prof lo ha fatto procedendo in questo modo:
in pratica poichè $tg x=x+o(x)$ allora $tg^(2)(1/sqrt(n))=(1/sqrt(n)+o(1/sqrt(n))^2=1/n+2/sqrt(n)+o(1/sqrt(n)+o(1/n)=1/n+o(1/n)$
e conclude dicendo che poichè come sappiamo la serie armonica diverge,allora diverge anche la serie data

[Lorin1]

si in effetti della serie che stai studiando non ti da fastidio $e^(1/n!)$ perchè converge a 1, quindi potresti confrontare $tg^2(1/sqrt(n))$ con $1/n$ e concludere che diverge perchè è proprio la serie armonica.