Carattere serie numerica
Raga potreste aiutarmi a calcolare il carattere di questa serie?
$\sum_{n=1}^(+\infty) (n^2+sen^3n)/(n+2^n)$ io ho pensato di fare la seguente maggiorazione usando il criterio del confronto:
$(n^2+sen^3n)/(n+2^n)<= (n^2+|sen^3n|)/(n)<=(n^2+1)/(n)$ ho messo il valore assoluto in quanto serie a segno variabile.Ora devo però dimostrare che la serie di confronto è convergente.Secondo voi è giusto questo ragionamento oppure mi consigliate di fare in qualke altro modo?Grazie 1000 a tutti.
$\sum_{n=1}^(+\infty) (n^2+sen^3n)/(n+2^n)$ io ho pensato di fare la seguente maggiorazione usando il criterio del confronto:
$(n^2+sen^3n)/(n+2^n)<= (n^2+|sen^3n|)/(n)<=(n^2+1)/(n)$ ho messo il valore assoluto in quanto serie a segno variabile.Ora devo però dimostrare che la serie di confronto è convergente.Secondo voi è giusto questo ragionamento oppure mi consigliate di fare in qualke altro modo?Grazie 1000 a tutti.
Risposte
La serie $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{n^2+1}n$ è divergente (il limite di $\frac{n^2+1}n$ non è $0$).
Bisogna lasciare $2^n$ nella maggiorazione perche' fa convergere $\frac{n^2 +\sen^3 n}{n+2^n}$ più veloce verso $0$.
Devi dimostrare la convergenza di $\frac{n^2+1}{2^n}$
Bisogna lasciare $2^n$ nella maggiorazione perche' fa convergere $\frac{n^2 +\sen^3 n}{n+2^n}$ più veloce verso $0$.
Devi dimostrare la convergenza di $\frac{n^2+1}{2^n}$
Quindi praticamente devo maggiorare le serie di partenza con la serie $(n^2+1)/(2^n)$ e nn come ho fatto io con laserie $(n^2+1)/n$.E poi come procedo?
Sai che la serie $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac 1{2^n}$ converge. Devi dunque mostrare che la serie $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac n{2^n}$ converge.
Puoi utilizare il criterio del rapporto.
Puoi utilizare il criterio del rapporto.
quindi praticamente spezzo la serie di confronto in 2 parti e dimostro la convergenza di ciascuna delle 2 parti separatamente?Giusto...
Si'. Questo funziona perche' la somma di due serie convergente è ancora convergente.
Puoi utilizzare il criterio del confronto asintotico con la serie data e la serie armonica generalizzata $\sum_{n=1}^(+\infty) 1/n^2$ che converge
$a_n= (n^2+sen^3n)/(n+2^n)$, $b_n= 1/n^2$
$\lim_{n \to \infty} a_n/b_n = lim_{n \to \infty} ((n^2+sen^3n)*n^2)/(n+2^n) = 0$ $\in \RR$, dunque la serie data converge.
$a_n= (n^2+sen^3n)/(n+2^n)$, $b_n= 1/n^2$
$\lim_{n \to \infty} a_n/b_n = lim_{n \to \infty} ((n^2+sen^3n)*n^2)/(n+2^n) = 0$ $\in \RR$, dunque la serie data converge.
Se nn sbaglio il criterio del confronto aintotico dice che devi ottenere un limite $l>0$ solo il quel caso le 2 serie date hanno lo stesso carattere.
identikit_man:
Se nn sbaglio il criterio del confronto aintotico dice che devi ottenere un limite $l>0$ solo il quel caso le 2 serie date hanno lo stesso carattere.
No. Se la serie di confronto è convergente è compreso anche il caso che il limite risulti zero.
Se invece la serie di confronto è divergente e viene zero allora ne sai quanto prima.
hai controllato la teoria? Torna?
Allora ho controllato la teoria sul libro scritto dal mio prof di analisi e dice che date 2 serie a termini positivi $a_n$ e $b_n$ se $lim_(n->+\infty) a_n/b_n=l>0$ allora le 2 serie hanno lo stesso carattere.Bo nn ci sto capendo niente....Potresti anke spiegarmi per favore come hai fatto ad ottenere 0 da quel limite?
Lo zero di quel limite è evidente. E' il limite di $a_n *n^2$.
Comunque, proviamo a cambiare strada: criterio del rapporto.
Proviamo a calcolare $\lim_{n \to \infty} a_(n+1)/a_(n)$, sempre con $a_n= (n^2+sen^3n)/(n+2^n)$
$a_(n+1)/a_(n) = ((n+1)^2+sen^3(n+1))/(n+1+2^(n+1)) (n+2^n)/(n^2+sen^3n) = (n+2^n)/(n+1+2^(n+1)) ((n+1)^2+sen^3(n+1))/(n^2+sen^3n)$ che asintoticamente equivale a $2^n/2^(n+1) n^2/n^2 = 1/2 <1$ convergente
adesso mi sembra più chiaro..
Comunque, proviamo a cambiare strada: criterio del rapporto.
Proviamo a calcolare $\lim_{n \to \infty} a_(n+1)/a_(n)$, sempre con $a_n= (n^2+sen^3n)/(n+2^n)$
$a_(n+1)/a_(n) = ((n+1)^2+sen^3(n+1))/(n+1+2^(n+1)) (n+2^n)/(n^2+sen^3n) = (n+2^n)/(n+1+2^(n+1)) ((n+1)^2+sen^3(n+1))/(n^2+sen^3n)$ che asintoticamente equivale a $2^n/2^(n+1) n^2/n^2 = 1/2 <1$ convergente
adesso mi sembra più chiaro..
Scusa per la mia ignoranza ma è da ieri sera che mi tiro i capelli per capire perchè $a_n$ tende a $0$; io per risolvere quel limite ho messo in evidenza al numeratore $x^2$ e al denominatore $x$.Si fa così giusto? ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
cmq per quanto riguarda il tuo passaggio penso che vada bene; praticamente nell'ultimo passaggio hai considerato gli infiniti di ordine superiore; trascurando gli altri giusto?
cmq per quanto riguarda il tuo passaggio penso che vada bene; praticamente nell'ultimo passaggio hai considerato gli infiniti di ordine superiore; trascurando gli altri giusto?
Si, nell'ultimo passaggio ho eliminato gli infiniti di ordine inferiore ma se vuoi fare tutti i passaggi basta raccogliere a fattor comune: a numeratore $n^2$ (hai $1 +(sen^3(n))/n^2$, il seno è una quantità limitata, tende velocemente a zero), a denominatore devi raccogliere l'esponenziale a base 2, $2^n$ che come sai è un infinito di ordine superiore a qualsiasi $n^a$, con $a \in \RR$ e dentro la parentesi rimane $1+n/2^n$.
Riassumendo, rimane $n^2$ a numeratore che moltiplica la parentesi che tende a $1$ e $2^n$ a denominatore che moltiplica un'altra parentesi che tende a $1$. Questo equivale a considerare $n^2/2^n$ per $n \to \infty$, limite che risulta zero.
Del resto è una serie a termini positivi, se non è soddisfatta la C.N. per la convergenza, la serie diverge.
Si potrebbe discutere su quel seno a numeratore che fa oscillare la serie ma più $n$ cresce più diventa ininfluente, e comunque rimane sempre a termini positivi.
Riassumendo, rimane $n^2$ a numeratore che moltiplica la parentesi che tende a $1$ e $2^n$ a denominatore che moltiplica un'altra parentesi che tende a $1$. Questo equivale a considerare $n^2/2^n$ per $n \to \infty$, limite che risulta zero.
Del resto è una serie a termini positivi, se non è soddisfatta la C.N. per la convergenza, la serie diverge.
Si potrebbe discutere su quel seno a numeratore che fa oscillare la serie ma più $n$ cresce più diventa ininfluente, e comunque rimane sempre a termini positivi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo