Carattere serie numerica
Buon pomeriggio a tutti. Stavo svolgendo un po' di esercizi riguardanti la determinazione del carattere di una serie numerica.
La serie numerica in questione è:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}}$$
Ho provato a razionalizzare e mi sembra che sia asintotica ad una serie armonica 1/n, quindi la serie iniziale dovrebbe essere divergente.
Sapreste dirmi se ho svolto l'esercizio in modo corretto? Grazie
La serie numerica in questione è:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}}$$
Ho provato a razionalizzare e mi sembra che sia asintotica ad una serie armonica 1/n, quindi la serie iniziale dovrebbe essere divergente.
Sapreste dirmi se ho svolto l'esercizio in modo corretto? Grazie
Risposte
Ciao Tekko, benvenut* sul forum!
L'idea è corretta, ma la conclusione è sbagliata: quella serie converge perché la successione sotto il segno di serie è asintotica a $\frac{1}{2n^{3/2}}$, si vede proprio razionalizzando come hai correttamente intuito. Dovresti scriverci i conti che hai fatto per trovare l'errore.
A tal proposito, ti segnalo che qui puoi trovare una guida su come scrivere le formule sul forum. Inoltre, in generale, è meglio evitare di caricare foto: esse, col tempo, vengono rimosse dai siti di hosting e quindi il post diventa illeggibile (ricorda che il forum è un luogo pubblico: di qui passeranno tanti utenti in futuro, quindi avere post comprensibili è un aiuto per la comunità e il forum nasce proprio come aiuto comunitario). Qui trovi il regolamento completo del forum.
Essendo il tuo primo messaggio, lo modifico io sostituendo l'immagine con le formule: in generale, è previsto un tentativo di soluzione da parte degli utenti del forum. Buona permanenza.
L'idea è corretta, ma la conclusione è sbagliata: quella serie converge perché la successione sotto il segno di serie è asintotica a $\frac{1}{2n^{3/2}}$, si vede proprio razionalizzando come hai correttamente intuito. Dovresti scriverci i conti che hai fatto per trovare l'errore.
A tal proposito, ti segnalo che qui puoi trovare una guida su come scrivere le formule sul forum. Inoltre, in generale, è meglio evitare di caricare foto: esse, col tempo, vengono rimosse dai siti di hosting e quindi il post diventa illeggibile (ricorda che il forum è un luogo pubblico: di qui passeranno tanti utenti in futuro, quindi avere post comprensibili è un aiuto per la comunità e il forum nasce proprio come aiuto comunitario). Qui trovi il regolamento completo del forum.
Essendo il tuo primo messaggio, lo modifico io sostituendo l'immagine con le formule: in generale, è previsto un tentativo di soluzione da parte degli utenti del forum. Buona permanenza.
Ciao Tekko,
La conclusione è decisamente errata, perché la serie proposta non solo è convergente, ma se ne può anche ricavare facilmente la somma, infatti raccogliendo $\sqrt{n}$ a denominatore si può riscrivere nel modo seguente:
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}} = \sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}) $
Così si vede subito che è telescopica e ha somma parziale
$s_N = \sum_{n=1}^N (\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}) = 1 - \frac{1}{\sqrt{N + 1}}$
sicché la serie proposta ha somma $S = \lim_{N \to +\infty} s_N = 1 $
La conclusione è decisamente errata, perché la serie proposta non solo è convergente, ma se ne può anche ricavare facilmente la somma, infatti raccogliendo $\sqrt{n}$ a denominatore si può riscrivere nel modo seguente:
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}} = \sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}) $
Così si vede subito che è telescopica e ha somma parziale
$s_N = \sum_{n=1}^N (\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}) = 1 - \frac{1}{\sqrt{N + 1}}$
sicché la serie proposta ha somma $S = \lim_{N \to +\infty} s_N = 1 $
Grazie mille per le risposte!
Inizialmente avevo svolto la razionalizzazione del denominatore e credo che ciò mi abbia portato un po' di casini. Adesso ho provato a svolgere in questo modo:
$ (sqrt(n+1)- sqrt(n)) / sqrt(n^2+n) * (sqrt(n+1)+ sqrt(n)) / (sqrt(n+1)+ sqrt(n)) $
Così da avere:
$ 1/(sqrt(n^2+n)(sqrt(n+1)+sqrt(n))) = 1/(sqrt(n^3+2n^2+n)+sqrt(n^3+n^2)) $
Da qui come dovrei procedere?
Inizialmente avevo svolto la razionalizzazione del denominatore e credo che ciò mi abbia portato un po' di casini. Adesso ho provato a svolgere in questo modo:
$ (sqrt(n+1)- sqrt(n)) / sqrt(n^2+n) * (sqrt(n+1)+ sqrt(n)) / (sqrt(n+1)+ sqrt(n)) $
Così da avere:
$ 1/(sqrt(n^2+n)(sqrt(n+1)+sqrt(n))) = 1/(sqrt(n^3+2n^2+n)+sqrt(n^3+n^2)) $
Da qui come dovrei procedere?
Prego! Seguendo il tuo svolgimento, nota che:
$$\sqrt{n^3+2n^2+n}+\sqrt{n^3+n^2}=\sqrt{n^3\left(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}+\sqrt{n^3\left(1+\frac{1}{n}\right)}$$
$$=\sqrt{n^3} \cdot \sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{n^3}\cdot \sqrt{1+\frac{1}{n}}$$
$$=n^{3/2} \cdot \sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}+n^{3/2} \cdot \sqrt{1+\frac{1}{n}}=n^{3/2} \left(\sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right)$$
Ora dovrebbe essere chiaro perché la successione sotto il segno di serie è asintotica a $\frac{1}{2n^{3/2}}$.
O, più rapidamente, senza effettuare il prodotto tra radici (facendo raccoglimenti simili allo svolgimento di cui sopra):
$$\sqrt{n^2+n}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=n\sqrt{1+\frac{1}{n}}\left(\sqrt{n}\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{n}\right)=n^{3/2}\sqrt{1+\frac{1}{n}}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right)$$
$$\sqrt{n^3+2n^2+n}+\sqrt{n^3+n^2}=\sqrt{n^3\left(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}+\sqrt{n^3\left(1+\frac{1}{n}\right)}$$
$$=\sqrt{n^3} \cdot \sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{n^3}\cdot \sqrt{1+\frac{1}{n}}$$
$$=n^{3/2} \cdot \sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}+n^{3/2} \cdot \sqrt{1+\frac{1}{n}}=n^{3/2} \left(\sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right)$$
Ora dovrebbe essere chiaro perché la successione sotto il segno di serie è asintotica a $\frac{1}{2n^{3/2}}$.
O, più rapidamente, senza effettuare il prodotto tra radici (facendo raccoglimenti simili allo svolgimento di cui sopra):
$$\sqrt{n^2+n}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=n\sqrt{1+\frac{1}{n}}\left(\sqrt{n}\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{n}\right)=n^{3/2}\sqrt{1+\frac{1}{n}}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right)$$
"Tekko":
Da qui come dovrei procedere?
Anche semplicemente col criterio del confronto:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(sqrt(n^3+2n^2+n)+sqrt(n^3+n^2)) < \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(sqrt(n^3)+sqrt(n^3)) = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(2sqrt(n^3)) = 1/2 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n^{3/2}) $
L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 3/2 > 1 $, com'è noto positivamente convergente.
Ora ho capito, grazie mille per le spiegazioni!
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