Carattere serie di successione

[malcon]

Salve, stavo studiando le serie e lo studio del carattere e pero ho dei problemi con le serie in cui compaiono i logaritmi in quanto non riesco a capire come procedere o che metodo utilizzare per risolverle.

qualcuno mi puo suggerire anche solo come " considerare " questa serie per risolverla ? grazie ...

$\sum_{n=2}^oo ln (1-1/n^2)$

so per certo che deve venire convergente, so che il limite per x tendente all'infinito viene 0 e quindi la condizione neccessaria è dimostrata, ma non so che criterio applicare per determinare il suo carattere.

[Paolo902]

Osserva che la serie è a termini di segno costante. Ricorda, inoltre, che $log(1+x) \sim x$, per $x to 0$.

[malcon]

ciao paolo, intanto grazie della risposta

allora non son certo di aver fatto la cosa giusta ma ho provato a farlo cosi l'esercizio ... ma non son convintissimo di cio che ho fatto ma la sparo li

intanto come abbiamo gia detto : $\lim_{n \to \infty}ln(1-1/n^2)= 0$ perchè logaritmo di 1 è 0 per $x\to\infty$
allora ho provato con il criterio del rapporto asintotico dato che la serie è a termini positivi.

$\lim_{n \to \infty}n^\alphaln(1-1/n^2)$ al che provo a fare un piccolo cambiamento di variabile per poter sfruttare il limite notevole $\lim_{n \to \infty}ln(1+x)/x= 1$ e quindi pongo $-1/n^2=x$ per $x \to \0$

quindi ri scrivo $\lim_{n \to \infty}n^\alphaln(1+x)$ e quindi qui moltiplico e divido per x in modo da non alterare niente e mi viene

$\lim_{n \to \infty}xn^\alphaln(1+x)/x$ quindi a questo punto mi ritrovo con il limite notevole e posso sostituire con 1 e quindi mi rimarrebbe

$\lim_{n \to \infty}xn^\alpha$ se al posto di x rimetto $-1/n^2$ ottengo $-1/n^2*n^\alpha$ il che per $\alpha=2$ mi viene $-1!=0$ e quindi avendola confrontata con la serie armonica $1/n^2$ che converge e essendo venuto il limite diverso da zero potrei concludere che converge anche $\lim_{n \to \infty}ln(1-1/n^2)$.

sono alle prime armi ... almeno ci ho provato se qualcuno ora mi aiutasse eventualmente con il procedimento piu corretto o giusto o non so ...

grazie

[Seneca1]

L'idea di fondo c'è. Non è chiaro cosa combini, però.

Basterebbe constatare che $lim_( n -> +oo) ln ( 1 - 1/n^2)/(-1/n^2) = 1$.

Quindi $sum ln( 1 - 1/n^2)$ converge se e solo se converge $sum 1/n^2$ (criterio del confronto asintotico).

[malcon]

intanto grazie della risposta seneca.
so che i miei passaggi non sono stati dei piu corretti almeno per risolvere questo tipo di esercizio.

comunque non riesco a capacitarmi di alcune cose, è indifferente allora se davanti alla serie armonica vi è il segno - a quanto capisco, invece ero convinto dovesse essere sempre positiva.

per il resto credo di aver capito, confrontando con la serie armonica mi viene fuori il limite notevole che fa 1 che è diverso da 0 ( anche qui io mi sono sforzato di farlo venire con il segno + come si vede nei libri perchè convinto che la forma fosse quella e che con il segno meno non si potesse fare )
il resto ho capito, con il confronto asintotico viene un limite diverso da 0 e $1/n^2$ è convergente e quindi li ci siamo

grazie mille seneca

[Seneca1]

"malcon":
comunque non riesco a capacitarmi di alcune cose, è indifferente allora se davanti alla serie armonica vi è il segno - a quanto capisco, invece ero convinto dovesse essere sempre positiva.

E' indifferente. Vale infatti che, detta $alpha in RR - {0}$ una costante, $alpha * sum a_n = sum alpha * a_n$.

Proprietà abbastanza ovvia se si pensa a cos'è una serie (la successione delle somme parziali)...

Osserva che: se $alpha$ dipendesse da $n$, per esempio se fosse $alpha = ( -1)^n$ , questo giochetto non lo potresti fare.

( anche qui io mi sono sforzato di farlo venire con il segno + come si vede nei libri perchè convinto che la forma fosse quella e che con il segno meno non si potesse fare )

In realtà ti basta che siano infinitesimi dello stesso ordine e quindi che il rapporto abbia limite $l in RR - {0}$... Se $l = 1$ tanto meglio.

[malcon]

credo di aver capito grazie ancora seneca gentilissimo