Carattere serie di potenza

[Esy59]

Ciao ho questa serie
$\sum_{n=1}^infty 2^(1-n)/((n^2+2n))$
Devo stabilire il carattere
La posso vedere come
$2\sum_{n=1}^infty (1/n)/(n *(n+2))$
Ma come dovrei proseguire per studiare il carattere?

[cooper1]

mi sa che ti sei mangiato un 2 nel trasformare la serie. ad ogni modo io userei il criterio della radice.

[pilloeffe]

Ciao Esy59,

In realtà per scoprire che è convergente è più semplice usare il criterio del rapporto; infatti, posto $a_n := 2^(1-n)/(n^2+2n) $, si ha:

$lim_{n \to +\infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = lim_{n \to +\infty} frac{2^(-n)/((n + 1)^2+2(n + 1))}{2^(1-n)/(n^2+2n)} = frac{1}{2} lim_{n \to +\infty} frac{n^2 + 2n}{n^2 + 4n + 3} = 1/2 < 1$

Osservando poi che si ha

$frac{2}{n(n+2)} = frac{1}{n} - frac{1}{n + 2} $

non è neanche troppo complicato calcolarne la somma. Infatti, ricordando che si ha:

$ln(1 + x) = sum_{n=1}^infty frac{(-1)^{n - 1}}{n} x^n \qquad |x| < 1 \implies ln(frac{1}{1 - x}) = sum_{n=1}^infty frac{x^n}{n} \qquad |x| < 1 $

(risultato che si può trovare anche integrando la serie geometrica), si trova

$ sum_{n=1}^infty 2^(1-n)/(n^2+2n) = sum_{n=1}^infty 2^(-n)/n - sum_{n=1}^infty 2^(-n)/(n+2) = sum_{n=1}^infty 2^(-n)/n -
4 sum_{n=1}^infty 2^(- n - 2)/(n+2) = $
$ = sum_{n=1}^infty (1/2)^n/n - 4 sum_{n=1}^infty (1/2)^{n + 2}/(n+2) = ... = frac{5}{2} - ln(8) $

[cooper1]

Per completezza riporto allora il mio svolgimento.. Riscrivo la serie come: $2sum_n (2^(-n))/(n^2+2n)$
Usando il criterio della radice devo studiare il limite $((2^(-n))/(n^2+2n))^(1/n)$ e questo risulta pari a $1/2$ poiché $root(n)(1/(n^2+2n)) -> 1$ per $n->+oo$
Dunque dato che $1/2 < 1$ la serie converge

[pilloeffe]

Naturalmente è corretta anche la soluzione proposta da cooper, anche se, come ho scritto, determinare il risultato del limite

$lim_{n \to +\infty}((2^(-n))/(n^2+2n))^(1/n) $

è meno immediato che determinare il risultato del limite

$lim_{n \to +\infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = frac{1}{2} lim_{n \to +\infty} frac{n^2 + 2n}{n^2 + 4n + 3} $

E' interessante anche osservare che la serie proposta si può generalizzare con la serie seguente:

$ S(k) = sum_{n=1}^infty k^(1-n)/((n^2+kn)) $

che converge $\AA k \in \NN_{\ge 1}$. Per $k = 1$ si ottiene la ben nota serie di Mengoli che converge a $1$. Per $k \ge 2$, osservando che

$frac{k}{n(n+k)} = frac{1}{n} - frac{1}{n + k} $

e ricordando le serie già citate nel mio post precedente, si ha:

$ sum_{n=1}^infty k^(1-n)/(n^2+kn) = sum_{n=1}^infty k^(-n)/n - sum_{n=1}^infty k^(-n)/(n+k) = sum_{n=1}^infty k^(-n)/n - k^k sum_{n=1}^infty k^(- n - k)/(n+k) = $
$ = sum_{n=1}^infty (1/k)^n/n - k^k sum_{n=1}^infty (1/k)^{n + k}/(n+k) = ... $

Si trova:

$ S(1) = 1 $
$ S(2) = 5/2 - ln(8) $
$ S(3) = 65/6 - 26 ln(3/2) $
$ \vdots $