Carattere serie di funzioni
non sto riuscendo a studiare il carattere della seguente serie: $sum_{n=1}^oo (n^xlogn)/(n^2+1)$. E' una serie di funzioni con termini di segno positivo. Applicando il criterio della radice ottengo $1$ e così anche quello del rapporto. Che via posso prendere?suggerimenti? maggiorare con qualcosa?
Risposte
Beh intanto potresti considerare la $a_n$. Quando è infinitesima? Già questa è un'informazione molto importante!
Asintoticamente hai che la tua serie si comporta come $n^(x-2) ln n$. Applicando il criterio di condensazione di cauchy, e facendo le opportune semplificazione con l'esponenziale, ti riporti nella situazione di una serie geometrica.
Asintoticamente hai che la tua serie si comporta come $n^(x-2) ln n$. Applicando il criterio di condensazione di cauchy, e facendo le opportune semplificazione con l'esponenziale, ti riporti nella situazione di una serie geometrica.
"pater46":
Beh intanto potresti considerare la $a_n$. Quando è infinitesima? Già questa è un'informazione molto importante!
il termine $a_n$ è infinitesimo per $x in (-oo,0]$
"mazzy89":
il termine $a_n$ è infinitesimo per $x in (-oo,0]$
Mmm... a me risulta infinitesimo per $x in (-oo, 2\[$. Comunque scusa poi ho editato, vedi se riesci a risolvere il quel modo!
"pater46":
[quote="mazzy89"]il termine $a_n$ è infinitesimo per $x in (-oo,0]$
Mmm... a me risulta infinitesimo per $x in (-oo, 2\[$. Comunque scusa poi ho editato, vedi se riesci a risolvere il quel modo![/quote]
ah si ho rivisto. hai ragione te.
"pater46":
Beh intanto potresti considerare la $a_n$. Quando è infinitesima? Già questa è un'informazione molto importante!
Asintoticamente hai che la tua serie si comporta come $n^(x-2) ln n$. Applicando il criterio di condensazione di cauchy, e facendo le opportune semplificazione con l'esponenziale, ti riporti nella situazione di una serie geometrica.
Applicando il criterio di condensazione di cauchy ottengo la serie: $sum_{n=1}^oo 2^(n+nx-2n)nlog2$
ottenendo così: $sum_{n=1}^oo (2^(x-1))^n*nlog2$
"mazzy89":
[quote="pater46"]Beh intanto potresti considerare la $a_n$. Quando è infinitesima? Già questa è un'informazione molto importante!
Asintoticamente hai che la tua serie si comporta come $n^(x-2) ln n$. Applicando il criterio di condensazione di cauchy, e facendo le opportune semplificazione con l'esponenziale, ti riporti nella situazione di una serie geometrica.
Applicando il criterio di condensazione di cauchy ottengo la serie: $sum_{n=1}^oo 2^(n+nx-2n)nlog2$
ottenendo così: $sum_{n=1}^oo (2^(x-1))^n*nlog2$[/quote]
a questo punto applico il criterio della radice così ottengo che la serie converge puntualmente per $x<1$. Ma ciò che ho fatto è ammissibile?cioè intendo è possibile applicare un criterio sopra un altro criterio?
Beh il criterio di condensazione ti dice semplicemente che il carattere delle due serie è identico. Sta a te definire la convergenza dell'altra serie!
"pater46":
Beh il criterio di condensazione ti dice semplicemente che il carattere delle due serie è identico. Sta a te definire la convergenza dell'altra serie!
ah bene quindi ottenuta la serie $sum_{n=1}^oo (2^(x-1)^n)*nlog2$ posso applicare il criterio della radice senza problemi.
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