Carattere Serie con coseno
Ciao ragazzi, non riesco a determinare il carattere di questa serie
$sum_(n=1)^(infty) cos(n) * sqrt(sen(1/n^3) $
Il problema principale è che non ho capito come comportarmi con \(\displaystyle cos(n) \),che mi da "problemi" quando faccio il limite per \(\displaystyle n \rightarrow\infty \)
Qualcuno in grado di aiutarmi?
$sum_(n=1)^(infty) cos(n) * sqrt(sen(1/n^3) $
Il problema principale è che non ho capito come comportarmi con \(\displaystyle cos(n) \),che mi da "problemi" quando faccio il limite per \(\displaystyle n \rightarrow\infty \)
Qualcuno in grado di aiutarmi?
Risposte
in modulo è minore di uno. puoi maggiorare studiando magari tutto con il modulo
Ciao e grazie innanzitutto per la risposta. Mi scuso già da ora se leggerai delle eresie! QUindi
$\lim_{n \to \infty} |cos n * sqrt(sen(1/n^3) | $ \(\displaystyle = \)
$\lim_{n \to \infty} |cos n| * sqrt(sen(1/n^3)$ \(\displaystyle = \)
$\lim_{n \to \infty} |cos n| * sqrt((1/n^3)$ \(\displaystyle \sim \) \(\displaystyle 1 \)$sqrt((1/n^3)$
$\lim_{n \to \infty} (|cos n| * sqrt(sen(1/n^3)))/ sqrt(1/n^3)$ \(\displaystyle = 0 \) [Ho usato il criterio del confronto asintotico]
E dato che $sqrt((1/n^3)$ converge, anche la serie di partenza converge.
È giusto? Nel caso in cui abbia scritto cose assurde mi scuso ma non vi incavolate
$\lim_{n \to \infty} |cos n * sqrt(sen(1/n^3) | $ \(\displaystyle = \)
$\lim_{n \to \infty} |cos n| * sqrt(sen(1/n^3)$ \(\displaystyle = \)
$\lim_{n \to \infty} |cos n| * sqrt((1/n^3)$ \(\displaystyle \sim \) \(\displaystyle 1 \)$sqrt((1/n^3)$
$\lim_{n \to \infty} (|cos n| * sqrt(sen(1/n^3)))/ sqrt(1/n^3)$ \(\displaystyle = 0 \) [Ho usato il criterio del confronto asintotico]
E dato che $sqrt((1/n^3)$ converge, anche la serie di partenza converge.
È giusto? Nel caso in cui abbia scritto cose assurde mi scuso ma non vi incavolate
Io farei così...
Siccome $\sin(1/n^3)~1/n^3$ allora:
$$\sum_{n=1}^{+\infty} \cos n \sqrt{\sin \frac{1}{n^3}} <+\infty \Leftrightarrow \sum_{n=1}^{+\infty} \cos n \frac{1}{n^{3/2}} <+\infty$$
L'ultima serie può essere maggiorata con $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ che sappiamo convergere
Siccome $\sin(1/n^3)~1/n^3$ allora:
$$\sum_{n=1}^{+\infty} \cos n \sqrt{\sin \frac{1}{n^3}} <+\infty \Leftrightarrow \sum_{n=1}^{+\infty} \cos n \frac{1}{n^{3/2}} <+\infty$$
L'ultima serie può essere maggiorata con $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ che sappiamo convergere
Attento l'ultimo limite non fa zero, anzi è indeterminato
Grazie Dan! Hai ragione, ho controllato adesso. Puoi dirmi se va bene così?
$\lim_{n \to \infty} (|cos n| * sqrt(sen(1/n^3)))/ sqrt(1/n^3)$ \(\displaystyle = \)
$\lim_{n \to \infty} |cos n| * (sqrt(sen(1/n^3))/ sqrt(1/n^3))$ [1/n^3 tende a zero. Quindi uso il lmite notevole del seno che fa 1)
Quindi il limite fa 1,il che vuol dire che le due serie hanno lo stesso carattere e quindi convergono entrambe.
È sbagliato?
$\lim_{n \to \infty} (|cos n| * sqrt(sen(1/n^3)))/ sqrt(1/n^3)$ \(\displaystyle = \)
$\lim_{n \to \infty} |cos n| * (sqrt(sen(1/n^3))/ sqrt(1/n^3))$ [1/n^3 tende a zero. Quindi uso il lmite notevole del seno che fa 1)
Quindi il limite fa 1,il che vuol dire che le due serie hanno lo stesso carattere e quindi convergono entrambe.
È sbagliato?
ai ragione sul limite notevole ma non puoi dire che tutto il limite faccia $1$ proprio perché c'è anche $\cos(n)$ che non esiste
Ah ho capito..e seguendo la mia impostazione come potrei continuare?
Comunque sia, in generale, come mi devo comportare quando ho una quantità limitata(come appunto il seno o il coseno) moltiplicata per "qualcos'altro"? Intendo sempre quando faccio il limite per n--> infinito
Comunque sia, in generale, come mi devo comportare quando ho una quantità limitata(come appunto il seno o il coseno) moltiplicata per "qualcos'altro"? Intendo sempre quando faccio il limite per n--> infinito
Il tuo ragionamento può essere convalidato semplicemente maneggiando bene $|\cos n|$ e ricordandi cosa dice il criterio asintotico per le serie. In alternativa puoi far vedere che $\lim n^{\beta}a_n=0$ con $1<\beta<3/2$ per essere più sicuri.
In generale per termini limitati io preferisco confrontare come ho fatto sopra...
In generale per termini limitati io preferisco confrontare come ho fatto sopra...
Dan scusa la domanda, ma che intendi per maneggiando per bene il coseno?
Nel limite precedente
$\lim_{n \to \infty} |cos n| * (sqrt(sen(1/n^3))/ sqrt(1/n^3))$
\(\displaystyle |cos (n)| \) non assume massmo valore 1? Quindi quel limite non è come fare \(\displaystyle 1 * 1 = 1 \)?
Anche se poi il coseno può assumere anche valore \(\displaystyle 0 \), o no? Quindi il limite cambierebbe.. non ci sto capendo molto!
Come dici tu ci sono anche altri metodi per dimostrare la convergenza,però vorrei prima capire dove sbaglio con questo metodo,per evitare poi futuri errori!
Grazie ancora e scusa!
Nel limite precedente
$\lim_{n \to \infty} |cos n| * (sqrt(sen(1/n^3))/ sqrt(1/n^3))$
\(\displaystyle |cos (n)| \) non assume massmo valore 1? Quindi quel limite non è come fare \(\displaystyle 1 * 1 = 1 \)?
Anche se poi il coseno può assumere anche valore \(\displaystyle 0 \), o no? Quindi il limite cambierebbe.. non ci sto capendo molto!
Come dici tu ci sono anche altri metodi per dimostrare la convergenza,però vorrei prima capire dove sbaglio con questo metodo,per evitare poi futuri errori!
Grazie ancora e scusa!
$\lim_{n \to \infty} |cos (n) * sqrt(sen(1/n^3)|$ \(\displaystyle = \)
$\lim_{n \to \infty} |cos n| * sqrt((1/n^3)$ \(\displaystyle = \)
$\lim_{n \to \infty} |cos n| /((n^(3/2))$ \(\displaystyle \) \(\displaystyle = 0 \) .[ Quindi la serie può coonvergere.]
$|cos n| /((n^(3/2))$ $\leq$ $1/n^(3/2)$.
Dato che la seconda serie è convergente, la serie dei moduli è convergente.
Quindi
$sum_(n=1)^(infty) cos(n) * sqrt(sen(1/n^3) $ è assolutamente convergente e quindi anche convergente. Giusto?
$\lim_{n \to \infty} |cos n| * sqrt((1/n^3)$ \(\displaystyle = \)
$\lim_{n \to \infty} |cos n| /((n^(3/2))$ \(\displaystyle \) \(\displaystyle = 0 \) .[ Quindi la serie può coonvergere.]
$|cos n| /((n^(3/2))$ $\leq$ $1/n^(3/2)$.
Dato che la seconda serie è convergente, la serie dei moduli è convergente.
Quindi
$sum_(n=1)^(infty) cos(n) * sqrt(sen(1/n^3) $ è assolutamente convergente e quindi anche convergente. Giusto?
Tranquillo non scusarti.
$|cos(n)|$ non ha un solo limite (essendo irregolare) ma una classe limite, l'intervallo [0,1], dunque anche il limite $\lim |cos(n)|\sqrt{\frac{|\sin(1/n^3)|}{1/n^3}}=L \in [0,1]$ (a seconda della sottosuccessione scelta), quindi per il criterio asintotico delle serie converge.
L'accortezza era quella di considerare la classe limite.
$|cos(n)|$ non ha un solo limite (essendo irregolare) ma una classe limite, l'intervallo [0,1], dunque anche il limite $\lim |cos(n)|\sqrt{\frac{|\sin(1/n^3)|}{1/n^3}}=L \in [0,1]$ (a seconda della sottosuccessione scelta), quindi per il criterio asintotico delle serie converge.
L'accortezza era quella di considerare la classe limite.
Scusa ho scritto prima di vedere l'ultimo tuo post, comunque quel che abbiamo dimostrato prima è che la serie converge assolutamente e quindi converge anche levando il modulo al $\cos(n)$.
Ahhhh,adesso ho capito! Quindi con il metodo del confronto asintotico ho capito come si procede e ti ringrazio tantissimo! 
Per quanto riguarda il mio ultimo messaggio, il modulo alla radice non può essere tolto perchè l'argomento è sempre maggiore o uguale a zero?
P.S. Se ti riferisci al primo passaggio, mi sono sbagliato! Ho modificato!
Per quanto riguarda il mio ultimo messaggio, il modulo alla radice non può essere tolto perchè l'argomento è sempre maggiore o uguale a zero?
P.S. Se ti riferisci al primo passaggio, mi sono sbagliato! Ho modificato!
Mi riferivo a $\sqrt{\sin(1/n^3)}$ ma mi sono accorto che ho detto una cavolata
Ah va bene!
Ti ringrazio tantissimo Dan, mi sei stato molto d'aiuto!
Ti ringrazio tantissimo Dan, mi sei stato molto d'aiuto!
Prego 
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