Carattere Serie a Termini positivi
Salve a tutti,
sono alle prese con le serie numeriche e nello studio del carattere delle serie a termini positivi, tra le osservazioni del Criterio del Confronto è riportato quanto segue:
Siano $ sum_{n=0}^\infty\a_n $ e $ sum_{n=0}^\infty\b_n $ due serie a termini positivi, con $\b_n$ $ >0 $ e supponiamo che esistano $ nu >0$ e due costanti $ c_1 , c_2 >0$ tali che $ c_1 <= frac{a_n)(b_n) <= c_2 $ per $ k>=nu $.
Allora $ sum_{n=0}^\infty\a_n $ e $ sum_{n=0}^\infty\b_n $ hanno lo stesso carattere.
continuando giustifica quanto detto....
Infatti se $ sum_{n=0}^\infty\a_n $ diverge o $ sum_{n=0}^\infty\b_n $ converge la tesi segue dal teorema del confronto in virtù delle disuguaglianze $ a_k<=c_2 b_k $,
mentre se $ sum_{n=0}^\infty\a_n $ converge o $ sum_{n=0}^\infty\b_n $ diverge la tesi la tesi segue dal teorema del confronto in virtu delle disuguaglianze $ c_1 b_k <= a_k $
Quello che mi sfugge è come mai l'esistenza delle costanti $c_1$ e $c_2$ contemporaneamente.
Sicuramente SBAGLIO L'APPROCCIO ma al momento non capisco come fanno a coesistere.
Secondo la mia visione dovrebbe esistere $ c_1 $ o $ c_2 $ e quindi o la disuguaglianza $ c_1 b_k <= a_k $ o la disuguaglianza $ a_k <= c_2 b_k$ altrimenti valendo contemporaneamente $ c_1 b_k <= a_k <= c_2 b_k$ ci sarebbero delle contraddizioni,
infatti
supponendo che $ sum_{n=0}^\infty\b_n $ diverga, come dovrei considerarle?
Dovrei considerare solo $ c_1 b_k <= a_k $ e scartare quella con $ a_k<=c_2 b_k $ ?
ma se vale la disuguaglianza con $ a_k<=c_2 b_k $ non è in contraddizione con il fatto che $ sum_{n=0}^\infty\a_n $ diverge ?
Non riesco a dare una giustificazione logica all'esistenza contemporanea delle due costanti sicuramente non la vedo nella giusta ottica.
Potreste illuminarmi!!!!!!!
GRAZIE
sono alle prese con le serie numeriche e nello studio del carattere delle serie a termini positivi, tra le osservazioni del Criterio del Confronto è riportato quanto segue:
Siano $ sum_{n=0}^\infty\a_n $ e $ sum_{n=0}^\infty\b_n $ due serie a termini positivi, con $\b_n$ $ >0 $ e supponiamo che esistano $ nu >0$ e due costanti $ c_1 , c_2 >0$ tali che $ c_1 <= frac{a_n)(b_n) <= c_2 $ per $ k>=nu $.
Allora $ sum_{n=0}^\infty\a_n $ e $ sum_{n=0}^\infty\b_n $ hanno lo stesso carattere.
continuando giustifica quanto detto....
Infatti se $ sum_{n=0}^\infty\a_n $ diverge o $ sum_{n=0}^\infty\b_n $ converge la tesi segue dal teorema del confronto in virtù delle disuguaglianze $ a_k<=c_2 b_k $,
mentre se $ sum_{n=0}^\infty\a_n $ converge o $ sum_{n=0}^\infty\b_n $ diverge la tesi la tesi segue dal teorema del confronto in virtu delle disuguaglianze $ c_1 b_k <= a_k $
Quello che mi sfugge è come mai l'esistenza delle costanti $c_1$ e $c_2$ contemporaneamente.
Sicuramente SBAGLIO L'APPROCCIO ma al momento non capisco come fanno a coesistere.
Secondo la mia visione dovrebbe esistere $ c_1 $ o $ c_2 $ e quindi o la disuguaglianza $ c_1 b_k <= a_k $ o la disuguaglianza $ a_k <= c_2 b_k$ altrimenti valendo contemporaneamente $ c_1 b_k <= a_k <= c_2 b_k$ ci sarebbero delle contraddizioni,
infatti
supponendo che $ sum_{n=0}^\infty\b_n $ diverga, come dovrei considerarle?
Dovrei considerare solo $ c_1 b_k <= a_k $ e scartare quella con $ a_k<=c_2 b_k $ ?
ma se vale la disuguaglianza con $ a_k<=c_2 b_k $ non è in contraddizione con il fatto che $ sum_{n=0}^\infty\a_n $ diverge ?
Non riesco a dare una giustificazione logica all'esistenza contemporanea delle due costanti sicuramente non la vedo nella giusta ottica.
Potreste illuminarmi!!!!!!!
GRAZIE
Risposte
Ci provo. Io risolverei così:
consideriamo '' $sum_{n=1}^(+oo)a_n$ '' convergente. Sia '' $c_1=nu>0$ '', ovvero nell'ultimo passaggio si intende che la relazione è definitiva nella serie ( '' $ktooo$ '' ).
Se '' $sum_{n=1}^(+oo)a_n$ '' converge allora per il criterio del confronto: '' $EEalpha:lim_{ntooo}a_(n+1)/a_n=alpha$ '', dove:
$0<=alpha<1$.
Sia '' $c_1<=a_n/b_n=h<=c_2$ ''. Dobbiamo ricavare che anche l'altra serie converge.
$a_n/b_n=h;a_(n+1)/b_(n+1)=h$. Quindi: $a_n/b_n=a_(n+1)/b_(n+1)$. Da cui:
$a_(n+1)/a_n=b_(n+1)/b_n$. Sia: $beta=lim_{ntooo}b_(n+1)/b_n$. Ne segue: '' $alpha=beta$ '' da cui la convergenza che stavamo cercando.
consideriamo '' $sum_{n=1}^(+oo)a_n$ '' convergente. Sia '' $c_1=
Se '' $sum_{n=1}^(+oo)a_n$ '' converge allora per il criterio del confronto: '' $EEalpha:lim_{ntooo}a_(n+1)/a_n=alpha$ '', dove:
$0<=alpha<1$.
Sia '' $c_1<=a_n/b_n=h<=c_2$ ''. Dobbiamo ricavare che anche l'altra serie converge.
$a_n/b_n=h;a_(n+1)/b_(n+1)=h$. Quindi: $a_n/b_n=a_(n+1)/b_(n+1)$. Da cui:
$a_(n+1)/a_n=b_(n+1)/b_n$. Sia: $beta=lim_{ntooo}b_(n+1)/b_n$. Ne segue: '' $alpha=beta$ '' da cui la convergenza che stavamo cercando.
"_GaS_":
Ci provo. Io risolverei così:
consideriamo '' $sum_{n=1}^(+oo)a_n$ '' convergente. Sia '' $c_1=nu>0$ '', ovvero nell'ultimo passaggio si intende che la relazione è definitiva nella serie ( '' $ktooo$ '' ).
Se '' $sum_{n=1}^(+oo)a_n$ '' converge allora per il criterio del confronto: '' $EEalpha:lim_{ntooo}a_(n+1)/a_n=alpha$ '', dove:
$0<=alpha<1$.
Sia '' $c_1<=a_n/b_n=h<=c_2$ ''. Dobbiamo ricavare che anche l'altra serie converge.
$a_n/b_n=h;a_(n+1)/b_(n+1)=h$. Quindi: $a_n/b_n=a_(n+1)/b_(n+1)$. Da cui:
$a_(n+1)/a_n=b_(n+1)/b_n$. Sia: $beta=lim_{ntooo}b_(n+1)/b_n$. Ne segue: '' $alpha=beta$ '' da cui la convergenza che stavamo cercando.
PERFETTO ...ragionamento puntuale e completo!!!!
ma non riesco ancora a dare una giustificazione nel caso in cui la serie $sum_{n=1}^(+oo)b_n$ risulti DIVERGENTE.
In questo caso a cosa dovrebbe tendere il rapporto " $c_1<=a_n/b_n=h<=c_2$ " ?
Beh,in quel caso le ipotesi della tua Proposizione sarebbero ridondanti(nel senso che una è superflua..):
ma non antitetiche alla sua tesi,
perché una serie che abbia termine generale maggiorante di quello d'una serie divergente è essa stessa divergente indipendentemente dal fatto che sia o meno minorante di quello di un'altra divergente
(cosa che,sebbene non mi sembri d'importanza capitale rifletterci su',può benissimo capitare,
come ad esempio nel caso semplice delle serie di termine generale $n+1$ ed $n$,entrambi divergenti,
che è abbastanza facile avvedersi come soddisfino le tue hp per $c_1=1,c_2=2$..)!
Per risponderti all'ultima domanda,infine,
direi che nel tuo caso può dirsi per certo solo come quel limite non tenda ad un elemento di $(0,1)$
(lì si che la contraddizione sarebbe grave!):
se poi,ad esempio,è un numero reale tra $1$ e $5000+pi root(5)(2e)$
($1$ può crearti qualche difficoltà ma,dopo averci riflettuto un po' su,fa' un fischio se permangono
),
ce ne faremo una ragione
..
Saluti dal web.
ma non antitetiche alla sua tesi,
perché una serie che abbia termine generale maggiorante di quello d'una serie divergente è essa stessa divergente indipendentemente dal fatto che sia o meno minorante di quello di un'altra divergente
(cosa che,sebbene non mi sembri d'importanza capitale rifletterci su',può benissimo capitare,
come ad esempio nel caso semplice delle serie di termine generale $n+1$ ed $n$,entrambi divergenti,
che è abbastanza facile avvedersi come soddisfino le tue hp per $c_1=1,c_2=2$..)!
Per risponderti all'ultima domanda,infine,
direi che nel tuo caso può dirsi per certo solo come quel limite non tenda ad un elemento di $(0,1)$
(lì si che la contraddizione sarebbe grave!):
se poi,ad esempio,è un numero reale tra $1$ e $5000+pi root(5)(2e)$
($1$ può crearti qualche difficoltà ma,dopo averci riflettuto un po' su,fa' un fischio se permangono
),ce ne faremo una ragione
..Saluti dal web.
A quanto detto da @theras aggiungo che anche con la serie divergente il caso è analogo.
Se '' $sum_{n=1}^(+oo)$ '' diverge, allora: $EEalpha:lim_(ntooo)a_(n+1)/a_n=alpha$. Con:
$1
Notare che nel caso delle serie convergenti questa proposizione non indica che esse debbano necessariamente avere lo stesso limite. Meglio sottolinearlo.
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