Carattere serie
Raga mi aiutate a definire il carattere di queste 3 serie:
1.
$\sum_{n=1}^oo (2^(1/n^2))$
Questa serie secondo me diverge, perchè non converge (il termine generale non tende a 0).
2.
$\sum_{n=1}^oo (SIN(3/2\pi +1/n^2)$
Qui la mia ipotesi è di usare il confronto assintotico ma non sono sicuro.
3.
$\sum_{n=1}^oo (COS(\pi +1/n^2)$
Qui invece non so proprio da dove iniziare
1.
$\sum_{n=1}^oo (2^(1/n^2))$
Questa serie secondo me diverge, perchè non converge (il termine generale non tende a 0).
2.
$\sum_{n=1}^oo (SIN(3/2\pi +1/n^2)$
Qui la mia ipotesi è di usare il confronto assintotico ma non sono sicuro.
3.
$\sum_{n=1}^oo (COS(\pi +1/n^2)$
Qui invece non so proprio da dove iniziare
Risposte
1. Non converge (per il motivo detto da te) ed è a termini positivi, quindi...
2. Soddisfa la condizione necessaria? Se no, è a termini definitivamente tutti d'un segno? Quindi...
3. Ricorda \(\cos (\pi + x) = -\cos x\), e fatti le stesse domande di prima.
2. Soddisfa la condizione necessaria? Se no, è a termini definitivamente tutti d'un segno? Quindi...
3. Ricorda \(\cos (\pi + x) = -\cos x\), e fatti le stesse domande di prima.
1. diverge
2. Non rispetta la condizione e il seno assume valori compresi tra 1 e -1, quindi è irregolare (giusto?)
3. idem
2. Non rispetta la condizione e il seno assume valori compresi tra 1 e -1, quindi è irregolare (giusto?)
3. idem
2 & 3. No.
Ragiona: quando \(n\to \infty\) si ha \(\frac{3\pi}{2} - \frac{1}{n^2} \to \frac{3\pi}{2}\), quindi \( \sin \left( \frac{3\pi}{2} - \frac{1}{n^2}\right) \to \sin \frac{3\pi}{2}=-1\) e per permanenza del segno...
Stesso ragionamento per 3.
Ragiona: quando \(n\to \infty\) si ha \(\frac{3\pi}{2} - \frac{1}{n^2} \to \frac{3\pi}{2}\), quindi \( \sin \left( \frac{3\pi}{2} - \frac{1}{n^2}\right) \to \sin \frac{3\pi}{2}=-1\) e per permanenza del segno...
Stesso ragionamento per 3.
Quindi entrambe convergono
Ma anche no. 
Sono entrambe a termini (definitivamente) d'ugual segno e non soddisfano la condizione necessaria, quindi...
Sono entrambe a termini (definitivamente) d'ugual segno e non soddisfano la condizione necessaria, quindi...
quindi divergono!
A me il seno e cesone mi creano sdempre tanta confusione!
Grazie per la pazienza
A me il seno e cesone mi creano sdempre tanta confusione!
Grazie per la pazienza
Mi aiutereste anche per queste altre due serie:
1.
$\sum_{n=1}^oo ((n^2-3n+1)/(n^2+2))^(n^3)$
Qui ho provato a usare il criterio della radice ma mi ritrovo nella forma di indecisione $1^infty$
2.
$\sum_{n=1}^oo (n^n-5)/(e^(n^2)+1)$
1.
$\sum_{n=1}^oo ((n^2-3n+1)/(n^2+2))^(n^3)$
Qui ho provato a usare il criterio della radice ma mi ritrovo nella forma di indecisione $1^infty$
2.
$\sum_{n=1}^oo (n^n-5)/(e^(n^2)+1)$
Posta i tuoi conti... Non è possibile che una forma indeterminata del genere ti spaventi.
Inoltre, aggiungi qualche idea per la seconda.
Inoltre, aggiungi qualche idea per la seconda.
Per la serie 1 ho provato a impostarla così:
$\lim_{n \to \infty} root(n)(((n^2-3n+1)/(n^2+2))^(n^3))= \lim_{n \to \infty} ((n^2-3n+1)/(n^2+2))^(n^2)=\lim_{n \to \infty} ((n^2)/(n^2))^(n^2)=1^(n^2)$
Per la 2 invece ho verificato solo la condizione per la convergenza
$\lim_{n \to \infty} root(n)(((n^2-3n+1)/(n^2+2))^(n^3))= \lim_{n \to \infty} ((n^2-3n+1)/(n^2+2))^(n^2)=\lim_{n \to \infty} ((n^2)/(n^2))^(n^2)=1^(n^2)$
Per la 2 invece ho verificato solo la condizione per la convergenza
"ciruz86":
$\lim_{n \to \infty} root(n)(((n^2-3n+1)/(n^2+2))^(n^3))= \lim_{n \to \infty} ((n^2-3n+1)/(n^2+2))^(n^2)$
Hai una forma indeterminata \(1^\infty\)... Come si risolvono queste forme indeterminate?
Per la seconda: è soddisfatta la condizione necessaria? i termini sono definitivamente di segno costante?
Di solito si risolve con il limite notevole ma in questo caso il numeratore non si può ridurre nella forma "normale" del limite notevole.
Per la seconda serie, la condizione necessarie è rispettata quindi potrebbe convergere.
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