Carattere serie

[pier c4]

ciao! sapreste spiegarmi come risolvere questo esercizio,indicando le considerazioni fatte e i passaggi (anche elementari) passo per passo? si chiede di studiare il carattere di questa serie:
$\sum_{n=1}^oo n!$ $\int_{n}^{n+1} x^-x dx$
grazie!!

[Rigel1]

Inizia a dirci come hai provato a risolverlo tu.

[pier c4]

ho cercato di trovare una serie che assomigliasse a quella data per utilizzare il confronto. pensavo a $\sum_{n=1}^oo $ $\int_{n}^{n+1} n!/(x^2) dx$ che maggiora la serie data,che è monotona per x>=1...in questo modo dovrei provare che la serie maggiorante converge...ma la serie che ho pensato diverge...

[Rigel1]

Puoi partire dal fatto che la funzione $x^{-x}$ è monotona decrescente in $[1, +\infty)$.

[pier c4]

si,questa osservazione l avevo tenuta in considerazione...ma comunque non sono approdato a nessuna soluzione...

[Rigel1]

Se \(f:[1, +\infty)\to\mathbb{R}\) è una funzione monotona decrescente, allora \(\int_n^{n+1} f(x) dx \leq f(n)\).

[pier c4]

pensandoci in effetti avremmo che la serie maggiorante è $\sum_{n=1}^oo n!/(n^n)$ che per il criterio del rapporto converge.quindi converge la serie di partenza. ma l'osservazione ∫n+1nf(x)dx≤f(n),come la dimostriamo?

[Gi81]

Con le ipotesi fatte da Rigel, $AA x in [n,n+1]$ si ha $f(x)<= f(n)$
Dunque $int_(n)^(n+1) f(x) dx <=int_(n)^(n+1) f(n) dx =f(n) * int_(n)^(n+1) dx=f(n)*1=f(n)$

[pier c4]

grazie per la pazienza , ragionando passo per passo col vostro aiuto abbiamo capito chiaramente! grazie mille a tutti!