Carattere serie

[copyleft-votailprof]

Salve a tutti.
Ho da poco fatto l'esame di analisi e sono proprio curioso di sapere se ho svolto correttamente la serie perchè i dubbi non sono pochi.
La serie in questione è:
$\sum_{n=1}^oo (2+sin(n))/(n(1+2^(-n)))$
Voi come la risolvereste? A me risulta convergente ma a molti colleghi diverge.

Grazie per l'aiuto

[Gatto891]

A occhio il limite non tende a 0 quindi non può convergere...

[copyleft-votailprof]

Derive dice che il limite tende proprio a zero quindi può anche essere convergente...

[copyleft-votailprof]

Ho ricontrollato la mia brutta copia... Prima divergeva anche a me e mi sono accorto adesso che quel criterio sembra proprio essere il più corretto... Credo proprio che diverga e sono stato uno stupido a rifarla... L'avevo dimostrato confrontando con la stessa serie mettendo -1 al posto del seno.

[dissonance]

Il termine generale è infinitesimo. E questo perché a numeratore c'è una successione limitata, a denominatore una successione infinita ($n(1+2^(-n))$). Ora si possono seguire varie strade. Quella più elementare mi pare sia il criterio del confronto (nota: la serie è a termini positivi). Osserviamo che $2+sin\ n>=1$. Inoltre $2^(-n)\to0$, quindi per $n$ sufficientemente grande abbiamo che $1+2^(-n)<=2$. Da cui, sempre per $n$ suff. grande, $n(1+2^(-n))<=2n$. Mettiamo insieme queste disuguaglianze, ottenendo:
$(2+sin\ n)/(n(1+2^(-n)))>=1/(2n)$. E come sappiamo la serie $sum_{n=1}^infty1/(2n)$ è divergente, per cui diverge anche la nostra serie di partenza.

P.S.: Per le prossime volte, una maniera di procedere più "a vista". Dopo aver acclarato che il termine generale è un infinitesimo, e che è a termini positivi, cerca di capire con che "velocità" questo termine generale decade verso lo 0. In questo caso vedi a occhio che i termini $2 + sin\ n$, $1+2^(-n)$ non danno contributo al decadimento, perché non fanno altro che dondolare intorno ad 1, mentre chi dirige l'orchestra è $1/n$. E la serie $sum1/n$, come sai, non converge.