Carattere Serie

[mazzy89-votailprof]

Ciao a tutti avrei una serie da esporvi. Io l'ho risolta e secondo me è convergente invece come soluzione sul libro riporta divergente.

$\sum_{n=1}^(+infty) cos(pi/(3^n))$

[luluemicia]

Ha ragione il libro; nota che il "termine generale" non è infinitesimo

[Covenant]

"mazzy89":Ciao a tutti avrei una serie da esporvi. Io l'ho risolta e secondo me è convergente invece come soluzione sul libro riporta divergente.

$\sum_{n=1}^(+infty) cos(pi/(3^n))$

diverge perchè non rispetta il criterio necessario per la convergenza, infatti l'argomento della serie NON tende a $0$ per $nto+oo$.

[mazzy89-votailprof]

"Covenant":[quote="mazzy89"]Ciao a tutti avrei una serie da esporvi. Io l'ho risolta e secondo me è convergente invece come soluzione sul libro riporta divergente.

$\sum_{n=1}^(+infty) cos(pi/(3^n))$

diverge perchè non rispetta il criterio necessario per la convergenza, infatti l'argomento della serie NON tende a $0$ per $nto+oo$.[/quote]

Giusto deve soddisfare prima di tutto la condizione necessaria di convergenza. Ma il libro invita a risolverla con il metodo del confronto.

[DavideV1]

"mazzy89":Ma il libro invita a risolverla con il metodo del confronto.

Esamina il termine generico della serie:

quando $n = 1$ allora $a_1 = cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, quindi sai che parti da $\frac{1}{2}$ e vai verso $1$.

Per il confronto,

$\frac{1}{2} \le cos(\frac{\pi}{3^{n}}) \le 1$

e siccome sai che le serie aventi termine $\frac{1}{2}$ e $1$ divergono, allora anche la serie data diverge.

[mazzy89-votailprof]

"DavideV":[quote="mazzy89"]Ma il libro invita a risolverla con il metodo del confronto.

...e siccome sai che le serie aventi termine $\frac{1}{2}$ e $1$ divergono, allora anche la serie data diverge.[/quote]

Perchè le serie aventi termine $\frac{1}{2}$ e $1$ divergono?

[dissonance]

Beh questa è facile... Ragionaci su mezzo secondo e lo capisci. Se sommi infinite volte 1, che numero pensi ti uscirà?

[mazzy89-votailprof]

"dissonance":Beh questa è facile... Ragionaci su mezzo secondo e lo capisci. Se sommi infinite volte 1, che numero pensi ti uscirà?

giusto se sommo infinite volte $1$ e $1/2$ non posso che ottenere infinito. quindi divergono.

[Dorian1]

"mazzy89":[quote="dissonance"]Beh questa è facile... Ragionaci su mezzo secondo e lo capisci. Se sommi infinite volte 1, che numero pensi ti uscirà?

giusto se sommo infinite volte $1$ e $1/2$ non posso che ottenere infinito. quindi divergono.[/quote]

Attenzione! La locuzione "somma infinita" non ha senso, mentro "infinito" non è un numero.

Il punto è questo: data la serie:

$sum_(j=0)^(+oo) 1$

abbiamo che la successione delle somme parziali è:

$S_0=0$

$S_1=1$

$S_2=2$

...
Cioè, in generale:

$S_n=n$ , $ AA n in NN$

E quindi, poichè la somma della serie è il limite (se esiste) per $n->+oo$ della successione $S_n$ si ha, banalmente, che:

$sum_(j=0)^(+oo) 1 = lim_(n->+oo) S_n=+oo$

(Spero che il mio intervento non vi risulti antipatico... Ho ritenuto doveroso postare una piccola precisazione perchè, da ciò che vedo nel mio piccolo mondo, questi sono concetti che spesso la gente affronta senza il dovuto rigore.)