Carattere serie

[michael046]

Salve come da titolo devo studiare il carattere della seguente serie:
$sum_(n = 1)(sqrt(n^2+1)-n)/(sqrt(n(n+1)$
l'unico strumento che mi viene in mente è il criterio della radice che però non riesco proprio ad applicarlo con tutte quelle radici, c'è qualche metodo alternativo, oppure qualcuno può seguirmi passo passo?

[Mephlip]

Non ho capito che intendi con prendere in considerazione i termini "più forti", devi calcolare
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{\ln n}{n^2+1}}{\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}}$$
Se il limite appartiene a $(0,+\infty)$ la serie di partenza si comporta come la serie con cui la confronti, se il limite è $0$ allora la serie di partenza converge se converge la serie con cui la confronti, se il limite è $+\infty$ allora la serie di partenza diverge se diverge la serie con cui la confronti.

[pilloeffe]

Comunque per risolvere la serie $ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n^2+1} $ io avrei usato il confronto semplice, osservando che $ln x < x \quad \AA x > 0 $, per cui ponendo $x := n^{\alpha} $ si ottiene $ln n^{\alpha} < n^{\alpha} \implies ln n < \frac{n^{\alpha}}{\alpha} \qquad \AA \alpha > 0 $

e si può scrivere:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n^2+1} < \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n^2} < 1/\alpha \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2 - \alpha}} $

Naturalmente nulla vieta di assumere $\alpha = 1/2 $ ottenendo così la serie che è già stata suggerita precedentemente.