Carattere serie
Salve come da titolo devo studiare il carattere della seguente serie:
$sum_(n = 1)(sqrt(n^2+1)-n)/(sqrt(n(n+1)$
l'unico strumento che mi viene in mente è il criterio della radice che però non riesco proprio ad applicarlo con tutte quelle radici, c'è qualche metodo alternativo, oppure qualcuno può seguirmi passo passo?
$sum_(n = 1)(sqrt(n^2+1)-n)/(sqrt(n(n+1)$
l'unico strumento che mi viene in mente è il criterio della radice che però non riesco proprio ad applicarlo con tutte quelle radici, c'è qualche metodo alternativo, oppure qualcuno può seguirmi passo passo?
Risposte
Ciao, hai provato con il criterio asintotico? Quello del rapporto? Metti i conti!
Ciao michael046,
Io proverei moltiplicando numeratore e denominatore per $sqrt{n^2 + 1} + n $ e poi userei il confronto, magari anche quello asintotico che ti ha già suggerito Bremen000, per dimostrare che la serie proposta è convergente.
Io proverei moltiplicando numeratore e denominatore per $sqrt{n^2 + 1} + n $ e poi userei il confronto, magari anche quello asintotico che ti ha già suggerito Bremen000, per dimostrare che la serie proposta è convergente.
Ok ti ringrazio provo subito invece per quanto riguarda la serie
$sum_(n = 1) log n/(n^2+1)$ come la studieresti?
$sum_(n = 1) log n/(n^2+1)$ come la studieresti?
"pilloeffe":
Ciao michael046,
Io proverei moltiplicando numeratore e denominatore per $sqrt{n^2 + 1} + n $ e poi userei il confronto, magari anche quello asintotico che ti ha già suggerito Bremen000, per dimostrare che la serie proposta è convergente.
ho fatto come mi hai detto e sono giunto alla conclusione che la serie data ha lo stesso carattere della serie
$sum_(n = 1) 1/(sqrt(n^2+n)((sqrtn^2+1)+n)$
e sono rimasto di nuovo bloccato...
No, stai attento a come scrivi... 
Per quanto concerne l'altra serie proposta userei il criterio del confronto per dimostrare che è convergente.
Per quanto concerne l'altra serie proposta userei il criterio del confronto per dimostrare che è convergente.
in che senso stai attento a come scrivi? ahahah non vedo nessun errore...
"michael046":
$sum_(n = 1) \frac{1}{\sqrt{n^2+n}(\sqrt{n}^2+1+n)}$
Ti ho citato l'errore: hai scritto $\sqrt{n}^2+1$ al posto di $\sqrt{n^2+1}$, probabilmente è un errore di scrittura al computer.
Comunque, come ti ha suggerito già pilloeffe, puoi provare un confronto cercando di minorare la quantità $\sqrt{n^2+n}(\sqrt{n^2+1}+n)$; per farlo sfrutta la monotonia della radice, il fatto che $n$ è positivo e maggiore/uguale di $1$.
Una volta fatta la minorazione, puoi passare al reciproco invertendo il verso della disuguaglianza (sono tutte quantità positive) ottenendo quindi una stima dall'alto sul termine generale della serie.
scusa l'ignoranza ma essendo tutti termini positivi posso minorare con $1/n^2$?
Nessuna ignoranza, tranquillo; dobbiamo tutti imparare a fare queste cose prima o poi!
La maggiorazione da fare è proprio quella.
Comunque è importante che i termini siano anche maggiori/uguali di $1$, infatti hai un prodotto e quindi se $a>0$ e $b \geq 0$ risulta $ab \geq a$ se $b \geq 1$; questo è il tuo caso perché $n$ parte da $1$ nella serie, perciò hai $n \geq 1$ e dunque sia $\sqrt{n^2+n}$ che $\sqrt{n^2+1}+n$ sono entrambi maggiori/uguali di $1$ e positivi.
La maggiorazione da fare è proprio quella.
Comunque è importante che i termini siano anche maggiori/uguali di $1$, infatti hai un prodotto e quindi se $a>0$ e $b \geq 0$ risulta $ab \geq a$ se $b \geq 1$; questo è il tuo caso perché $n$ parte da $1$ nella serie, perciò hai $n \geq 1$ e dunque sia $\sqrt{n^2+n}$ che $\sqrt{n^2+1}+n$ sono entrambi maggiori/uguali di $1$ e positivi.
quindi siccome ho maggiorato con $1/n^2$ che una serie convergente a sua volta anche la serie data convergerà giusto?
Esatto, per il teorema del confronto.
"michael046":
invece per quanto riguarda la serie
$sum_(n = 1) log n/(n^2+1)$ come la studieresti?
posso confrontare anche questa con $sqrt n/n^2$?
Potresti confrontarla con $1/n^(3/2)$!
"michael046":
[quote="michael046"]invece per quanto riguarda la serie
$sum_(n = 1) log n/(n^2+1)$ come la studieresti?
posso confrontare anche questa con $sqrt n/n^2$?[/quote]
Puoi farlo, tuttavia è un confronto asintotico: nell'altro esercizio si trattava di confronto e basta.
Quindi devi assicurarti che siano verificate le ipotesi del criterio del confronto asintotico e vedere se da esso puoi dedurre informazioni sulla convergenza/divergenza confrontando $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n^2+1}$ con $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^2}=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$.
"caffeinaplus":
Potresti confrontarla con $1/n^(3/2)$!
non è uguale a $sqrt n/n^2$?
mi sto confondendo
"Mephlip":
Puoi farlo, tuttavia è un confronto asintotico: nell'altro esercizio si trattava di confronto e basta.
Quindi devi assicurarti che siano verificate le ipotesi del criterio del confronto asintotico e vedere se da esso puoi dedurre informazioni sulla convergenza/divergenza confrontando $ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n^2+1} $ con $ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^2}=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{3/2}} $.
non capisco la differenza tra quella di prima e questa...
Il mio era un affermativo 
Semplicemente io la preferisco scritta cosi perché mi fa più "pronta all'uso"
Semplicemente io la preferisco scritta cosi perché mi fa più "pronta all'uso"
Prima hai usato delle disuguaglianze, quindi eri in un contesto di teorema del confronto; se vuoi farlo anche ora devi dimostrare che $\ln n \leq \sqrt{n}$ (almeno definitivamente) e poi puoi procedere con il teorema del confronto.
Altrimenti puoi usare il criterio del confronto asintotico (personalmente credo sia più semplice così) e confrontare la serie con la serie di $\frac{1}{n^{3/2}}$.
Conosci la differenza tra teorema del confronto e criterio del confronto asintotico? Se non la conosci è anche normale che tu sia confuso.
Altrimenti puoi usare il criterio del confronto asintotico (personalmente credo sia più semplice così) e confrontare la serie con la serie di $\frac{1}{n^{3/2}}$.
Conosci la differenza tra teorema del confronto e criterio del confronto asintotico? Se non la conosci è anche normale che tu sia confuso.
La differenza dovrebbe essere che nel teorema del confronto si "maggiore/minora" una serie con un'altra di cui conosciamo il carattere ovviamente non a caso mentre nel confronto asintotico si fa il limite del rapporto tra i termini generali della serie data e di un'altra serie sempre opportunamente scelta di cui si conosce il carattere.
Giusto?
Giusto?
Sì, quindi usando il criterio del confronto asintotico come concludi lo studio di $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n^2+1}$?
prendo in considerazione solo i termini più "forti" ovvero $n^(3/2)/n^2$
quindi faccio $lim_(x->oo) n^(3/2)/n^2=0$ e siccome la serie che uso per confrontare è convergente il risultato del limite mi dice che anche la serie di partenza converge giusto?
quindi faccio $lim_(x->oo) n^(3/2)/n^2=0$ e siccome la serie che uso per confrontare è convergente il risultato del limite mi dice che anche la serie di partenza converge giusto?
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