Carattere serie

[lorenzofranco24]

Salve ragazzi ho dei dubbi sullo studio del carattere della seguente serie, spero possiate aiutarmi:
$ sum_(n = \1) 2^nsen (1/3^n) $
non capisco come muovermi

[cooper1]

usa il criterio del confronto asintotico. a cosa è asintotico il seno per $n->+oo$? che serie ne risulta? è convergente la serie risultante?

[lorenzofranco24]

Allora io avevo fatto questo ragionamento: $ -1<=senx<=1 $ quindi il seno sarebbe <=1 mentre 2^n è una serie geometrica di ragione 2>1 per cui divergente, quindi il carattere della serie dovrebbe essere divergente? ma il libro dice sia convergente, non capisco come...

[cooper1]

$sin(1/3^n)~1/3^n$ quindi la serie data è asintotica a $(2/3)^n$ che è una serie geometrica di ragione $2/3 < 1$ e quindi convergente. allora anche quella di partenza converge

[lorenzofranco24]

non capisco l'equivalenza asintotica del seno; con n che tende all'infinito il seno,essendo una funzione periodica, che valore ha?
o meglio si comporta come quale funzione?
il limite notevole associato al seno mi dice che esso vale per x tendente a 0.
Scusami sono un pò in confusione

[cooper1]

"Drenthe24":Scusami sono un pò in confusione

ma figurati ci manca!

"Drenthe24":non capisco l'equivalenza asintotica del seno; con n che tende all'infinito il seno,essendo una funzione periodica, che valore ha?
o meglio si comporta come quale funzione?
il limite notevole associato al seno mi dice che esso vale per x tendente a 0.

per $n->+oo$ hai che $1/3^n -> 0$ quindi l'argomento del seno è infinitesimo e di conseguenza possibile applicare la sua stima asintotica

[lorenzofranco24]

come non detto, ci sono arrivato!
l'equivalenza asintotica è comunque rispettata in quando per x tendente a +infinito l'argomento del seno tende a 0.
Grazie per l'aiuto