Carattere serie

[giuseppeferrara96]

Buonasera, ho bisogno di un aiuto nel determinare il carattere della seguente serie numerica:
$ sum_(n = \1)((3^sqrt(n))n!)/n^n $
La serie converge, essendo a termini positivi e provando ad applicare il criterio della radice, risulta essere convergente.
Ho problemi a dimostrare che è infinitesima... qualche consiglio?

[feddy]

"giuseppe-1996":
Ho problemi a dimostrare che è infinitesima... qualche consiglio?

Se intendi dire che il limite del termine generale $a_{n}$ è infinitesimo...allora:

conoscendo la formula di stirling: $ n! ~~ sqrt(2\pin)*(n/e)^n $

e notando che il numeratore è asintotico a: $ n! $
mentre il denominatore va a infnito come $n^n$ riscriviamo il limite: $ lim_(n -> +\infty) sqrt(2\pin)*(n/e)^n *1/n^n $

semplificando $n^n$:

$ lim_(n -> +\infty) sqrt(2\pin)/e^n $ , che tende a $0$