Carattere serie

[fvb90]

salve ragazzi,
tra 2 giorni ho l'esame di analisi ed ho una grande difficoltà con le serie.
potreste aiutarmi a risolvere questo esercizio dell'appello scorso?

"studiare il carattere delle seguenti serie e, nel caso fosse possibile, calcolarne la somma"
$ sum_(n = \1)^( oo ) (log (e^n -1 ) + sqrt(n)) / n $

ed

$ sum_(n = \1)^( oo ) (n^3) /(2^n) $

grazie mille in anticipo ^^

[feddy]

ciao,

1)
Notiamo che possiamo spezzarla in:
$ sum^(n= +\infty )log(e^{n}-1)/n + sum^(n= +\infty )sqrt(n)/n $

Il secondo addendo, può essere riscritto nella forma: $ 1/(n^{-1/2}*n)= 1/(n^(1/2)) $ e tale serie diverge (serie armonica generalizzata con $\alpha<1$)

Pertanto tutta la serie diverge.


2)
Si tratta di una serie a termini positivi, e possiamo applicare il criterio della radice:

$ lim_(n -> +infty) (n^3/2^n)^(1/n) $ tale limite risulta $1/2$ e poiché minore di $1$, la serie converge

Prova tu a calcolarne la somma

[anto_zoolander]

Non so se fosse il metodo più veloce, ma ho provato a calcolare $S_N$ in generale, considerando un generico $q^n$
Calcolando il limite per $N->+infty$ ho ottenuto questo:

$lim_(N->+infty)sum_(n=1)^(N)n^3q^n=q/(1-q)^2[1+(6q)/(1-q)^2],qinRR:|q|<1$

considerando per $q=1/2...$

$(1/2)/(1/4)[1+(6/2)/(1/4)]=2[1+12]=26$

devo ammettere che è stata lunghetta da calcolare

[anto_zoolander]

Questo è quanto ho fatto per arrivare a quella conclusione.

parto considerando $sum_(n=0)^(N)n^3q^n$ con $qinRR:|q|<1$

Nota che per $q=1/2$ otteniamo la serie di interesse e anche che farla partire da $0$ anziché da $1$ è praticamente la stessa cosa, ma per comodità considero di farla partire da $0$.

$sum_(n=0)^(N)n^3q^n=0+q+2^3q^2+3^3q^3+...+N^3q^N$

comincio facendo questo ragionamento: aggiungo e tolgo la quantità $(q^2+q^3+...+q^N)$

$1*(q+q^2+q^3+...+q^N)+(2^3-1)q^2+...+(N^3-1)q^N$

nota che ho una prima serie geometrica. Faccio lo stesso per ottenere una serie geometrica con $q^2$ sommando e sottraendo la quantità $(2^3-1)(q^3+q^4+...+q^N)$ ottenendo

$sum_(n=1)^(N)q^n+(2^3-1)(q^2+q^3+..+q^N)+(3^3-1-(2^3-1))q^3+...$

cosa noti? ora il coefficiente davanti $q^3$ diventa $(3^3-2^3)$ ora se continuassi a fare questa cosa, otterrei questa espressione

$sum_(n=1)^(N)q^n+(2^3-1)sum_(n=2)^(N)q^n+(3^3-2^3)sum_(n=3)^(N)q^n+...+((N+1)^3-N^3)sum_(N=N)^(N)q^n$

ora posso esprimere questa somma parziale in una doppia somma parziale. Può sembrare che complichi le cose, invece aiuta ad abbassare il grado di $N$ presente nella differenza di cubi... dunque chiamando:

$a_k=sum_(n=k+1)^(N)q^n$

$a_0+(2^3-1)a_1+...+(3N^2+3N+1)a_N=sum_(k=0)^(N)[(3k^2+3k+1)a_k]$

nota che $k$ parte da zero perché esprimendo la differenza di cubi in funzione di $k$, il primo valore deve essere $1$, ma il primo $q$ deve partire anch'esso da $1$. Infatti così facendo il primo coefficiente si ottiene con $k=0$ che è $1$ e il primo valore di $q$ è dato da $n=k+1=0+1=1$ quindi tutti i conti tornano.

ovvero $sum_(k=0)^(N)[(3k^2+3k+1)sum_(n=k+1)^(N)q^n]$

ora mi piacerebbe che quella somma interna partisse da $0$ e posso farlo facendo questa manipolazione:

$sum_(n=k+1)^(N)q^n+sum_(n=0)^(k)q^n-sum_(n=0)^(k)q^n=sum_(n=0)^(N)q^n-sum_(n=0)^(k)q^n$

quindi...

$sum_(k=0)^(N)[(3k^2+3k+1)(sum_(n=0)^(N)q^n-sum_(n=0)^(k)q^n)]$

$sum_(k=0)^(N)[(3k^2+3k+1)((1-q^(N+1))/(1-q)-(1-q^(k+1))/(1-q))]=sum_(k=0)^(N)[(3k^2+3k+1)((q^(k+1)-q^(N+1))/(1-q))]$

moltiplicando e applicando la linearità della sommatoria, otteniamo altre due sommatorie equivalenti a quella di partenza che però ci danno modo di notare una cosa interessante

$q/(1-q)[sum_(k=0)^(N)[(3k^2+3k+1)q^k]-sum_(k=0)^(N)[(3k^2+3k+1)q^(N+1)]]$

cosa si nota? la seconda somma, poiché $|q|<1$ fa $0$ se $N->+infty$ difatti sommeremmo infinite volte zero. Siccome il risultato che si interessa è proprio per $N->+infty$ allora dimentichiamoci di quella sommatoria. E occupiamoci di quella a sinistra.

$q/(1-q)sum_(k=0)^(N)[(3k^2+3k+1)q^k]$

spezzando la sommatoria ne otteniamo tre di cui due già sappiamo calcolare il valore di convergenza

$q/(1-q)[3sum_(k=0)^(N)k^2q^k+3sum_(k=0)^(N)kq^k+(1-q^(N+1))/(1-q)]$

ora.. la serie nel mezzo converge per $|q|<1$ al valore $q/(1-q)^2$ la calcolai tempo fa' per un utente e se vuoi la dimostrazione puoi trovarla quì
Inoltre la terza serie, quella geometrica, sappiamo già che è convergente, perciò possiamo togliere quel $q^(N+1)$ poiché tenderà a zero.

$q/(1-q)[3sum_(k=0)^(N)k^2q^k+(3q)/(1-q)^2+1/(1-q)]$

cosa abbiamo ottenuto con questo? beh abbiamo la stessa serie, però con $k$ di grado minore, adesso se facessimo lo stesso ragionamento fatto prima potremmo costruire la stessa identica serie, considerando però come coefficiente accanto alla serie non più $((k+1)^3-k^3)$ bensì $((k+1)^2-k^2)=2k+1$

$sum_(j=0)^(N)[(2j+1)sum_(k=j+1)^(N)q^k]=sum_(j=0)^(N)[(2j+1)(sum_(k=0)^(N)q^k-sum_(k=0)^(j)q^k)]$

$sum_(j=0)^(N)[(2j+1)((1-q^(N+1))/(1-q)-(1-q^(j+1))/(1-q))]=sum_(j=0)^(N)[(2j+1)((q^(j+1)-q^(N+1))/(1-q))]$

facendo lo stesso ragionamento di prima $q^(N+1)->0$

quindi rimane $q/(1-q)sum_(j=0)^(N)[(2j+1)q^j]=q/(1-q)[2sum_(j=0)^(N)jq^j+1/(1-q)]$

abbiamo praticamente finito $q/(1-q)[(2q)/(1-q)^2+1/(1-q)]$

ora sostituiamo quanto ottenuto nella vecchia parentesi, così da ottenere il valore finale

$q/(1-q)[(3q)/(1-q)[(2q)/(1-q)^2+1/(1-q)]+(3q)/(1-q)^2+1/(1-q)]$

$q/(1-q)^2[(6q^2)/(1-q)^2+(6q)/(1-q)+1]=q/(1-q)^2[(6q((q-1)+1))/(1-q)^2+(6q)/(1-q)+1]$

e infine si ottiene $q/(1-q)^2[(6q)/(1-q)^2+1]$

Ora basta sostituire, come ho fatto nel post precedente $q=1/2$ e si trova il valore di convergenza della serie.

[fvb90]

scusatemi ragazzi,
ma non riesco proprio a calcolarne la somma, il metodo che hai usato è troppo lungo da usare in un esame di 2 ore che comprendi parecchi esercizi!
non c'è un metodo più semplice?
grazie a tutti per l'aiuto