Carattere serie

[bblack25]

Ciao a tutti,
avrei bisogno di un aiuto per questa serie:

$sum_{n=1}^(+\infty) (1-cos(1/n))/(e^(1/n)-1)$

Dovrei conoscerne il carattere...Penso che si possa risolvere con gli sviluppi di Taylor per $n->\infty$ ma non riesco a capire fino a che ordine mi devo spingere.Grazie dell'aiuto

[Oiram92]

Innanzitutto osserviamo che la serie potrebbe convergere perchè verifica la condizione necessaria per la convergenza, infatti :
$ lim_(n->+oo) (1-cos(1/n))/(e^(1/n)-1) = lim_(n->+oo) ((1-cos(1/n))/ (1/n^2)) 1/n^2 1/((e^(1/n)-1)/(1/n)) n = 1/n = 0 $

Detto questo possiamo studiare la convergenza con il confronto asintotico :
$ (1-cos(1/n))/(e^(1/n)-1) ~ (1/n)/e^(1/n) = 1/e^(1/n) 1/n $

Osserviamo che $ 1/e^(1/n) $ è un valore numerico, quindi la serie si comporta allo stesso modo della serie armonica che come sappiamo diverge, e dunque diverge anche la serie di partenza.

Per una conferma aspetta qualche utente più "fidato", non vorrei che la fretta di risponderti mi abbia fatto tralasciare qualche particolare.

[bblack25]

Ma $cos(1/n)$ non ha questo sviluppo $1-1/(2n^2)+o(1/n^2)$ ??

Penso che così possa andar bene,che ne dici?

$sum_{n=1}^(+\infty) (1-cos(1/n))/(e^(1/n)-1)$

$(1-cos(1/n))/(e^(1/n)-1)$;

$(1-1+1/(2n^2))/(1-1+1/n)$

Diventa:

$sum_{n=1}^(+\infty) 1/(2n)$ che diverge.

[theras]

Oppure osserva che,per il teorema ponte tra limiti di funzioni e successioni,puoi scriver che
$EElim_(n to oo)(a_n)/(1/n)=lim_(x to 0)(1-"cos"x)/(x(e^x-1))=..=1/2*1/1=1/2 ne 0$..
Saluti dal web.

[bblack25]

Si anche..ma il mio ragionamento di sopra ti sembra giusto?

[Noisemaker]

si è corretto

[bblack25]

Ok grazie mille!!