Carattere di una serie per parametro reale

[Frank011]

Buona domenica, dovrei determinare quando la seguente serie risulta convergente: $\sum_{n=1}^infty n^\beta * e^-n$ per $\beta in RR$.

Ho provato ricorrendo all'indice di convergenza tramite rapporto e radice, ma i calcoli conducono a valori non dipendenti da beta e soprattutto diversi.

Criterio del rapporto:
$ R=\lim_{n \to \infty}(a_(n+1))/a_n =\lim_{n \to \infty} ((n+1)^\beta * e^(-n+1))/(n^\beta * e^-n) = e *\lim_{n \to \infty} ((n+1)/n)^\beta = e *1^\beta = e*1 = e$

Per mezzo del criterio della radice, invece, il risultato è $1^\beta/e = 1/e$. Che conduce praticamente ad un nulla di fatto.

Qualche idea risolutiva?

Grazie

[pilloeffe]

Ciao Frank01,

Occhio che hai applicato male il criterio del rapporto:

$ lim_{n \to \infty}(a_(n+1))/a_n =\lim_{n \to \infty} ((n+1)^\beta * e^(-n-1))/(n^\beta * e^-n) = frac{1}{e} lim_{n \to \infty} ((n+1)/n)^\beta = frac{1}{e} lim_{n \to \infty} [(1 + 1/n)^n]^{\beta/n} = frac{1}{e} < 1$

Quindi la serie proposta converge indipendentemente dal valore di $\beta \in \RR $

[Frank011]

Ciao pilloeffe, sei stato molto rapido e gentile; errore piuttosto grossolano da parte mia! Grazie inoltre per l'aggiunta della tua ultima considerazione di tipo qualitativo sul carattere della serie stessa.